미적분학
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| 미적분학 |
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기본 정리 | 함수 | 함수의 극한 | 연속함수 | 다항식의 미적분 | 평균값 정리 | 벡터 미적분학 | 텐서 미적분학 |
| 미분 |
| 적분 |
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리만 합 | 적분표 | 치환적분 | 부분적분 | 삼각 치환적분 | 회전체 | 중적분 | 이상적분 | 적분의 종류 |
미적분학(微積分學)은 해석학의 기본을 이루는 수학의 분야이다. 미분적분학의 준말로 말 그대로 국소적인 변화를 다루는 미분과 국소적인 양의 집적을 다루는 적분 두부분이 두 기둥을 이루고 있다.
미분은 특정 함수의 어떤 지점에서의 접선, 혹은 접평면을 구하는 연산이다. 다시 말하면, 미분은 원래는 복잡한 함수를 선형근사하여 다루기 쉬운 형태로 바꾸어 파악하려는 것이다. 그렇게 때문에 미분은 선형사상이 된다. (단, 다변수 함수의 미분을 선형사상으로 취급하는 방식은 20세기에 들어서부터 확립됐다.) 미분방정식은 이런 사고의 자연스러운 연장선상에 있다.
이에 대해 적분은, 기하학적으로 보면, 곡선 또는 곡면과 좌표축으로 둘러싸인 영역의 면적을 구하는 것에 해당된다. 그러나 적분의 의미는 오랫동안 확실하게 파악되지 못하고 있었다. 적분의 확실한 정의를 내린 사람은 베른하르트 리만이 최초이다. 리만이 생각한 적분을 정식화한 것은 리만적분으로 불리고 있다.
미분과 적분은 완전히 별개의 개념이지만, 밀접한 연관성을 갖는다. 변수가 하나인 경우 하나가 나머지의 역연산이 된다. 이를 미적분학의 기본정리라고 부른다.
목차 |
[편집] 실수와 연속성
[편집] 연속함수
[편집] 함수 f(x)가 x = a에서 연속
에서 정의된 함수 f(x)가 다음의 조건을 만족할 때 f(x)는 x = a인 점에서 연속이라고 한다. (
)
- x = a에서 함숫값 f(a)가 존재한다.
- x = a에서 극한값
가 존재한다. - x = a에서 함숫값과 극한값이 일치한다.
[편집] 함수 f(x)가 연속
함수 f(x)가 정의역에 존재하는 모든 x에서 연속일 때, f(x)는 연속함수라고 한다.
정의역 이외의 x에 대해서 불연속이더라도, 함수의 연속성에는 영향을 미치지 않는다. 예를 들어, 
은 x=0 이외의 모든 점에서 연속이다. x=0에서는 함숫값이 정의되지 않아 불연속이지만, 0은 정의역에 있지 않는 수이므로 함수 f(x)는 연속함수이다.
| 함수의 그래프 | 연속성 |
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연속이다. |
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함숫값이 존재하지 않으므로 불연속이다. |
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함숫값과 극한값이 일치하지 않으므로 불연속이다. |
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좌극한값과 우극한값이 일치하지 않아 극한값이 존재하지 않으므로 불연속이다. |
[편집] 제거 가능한 불연속성
함수 f(x)가 x = x0에서 불연속이지만 f(x0)를 적절히 정했을 때 연속이 될 수 있다면, f(x)는 x = x0에서 제거 가능한 불연속성을 지닌다고 표현한다.
예를 들어 
라면, x = 0인 점에서 함숫값이 정의되지 않아 불연속이다. 그러나 
로 극한값이 존재하므로 만약 f(0) = 1로 함숫값을 정하면 불연속성이 제거될 수 있다. 따라서 함수 f(x)는 x=0인 점에서 제거 가능한 불연속성을 지닌다.
[편집] 미분적분학의 기초이론
[편집] 지수함수, 삼각함수
[편집] 미분적분학의 전개
[편집] 다변수함수와 편미분
[편집] 사상, 음함수의 정리
[편집] 다중적분
[편집] 곡선, 곡면
[편집] 외부 링크
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