회전 (벡터)

벡터장의 회전(curl) 혹은 꼬임은 다음과 같이 표현되는 기호 행렬식이다.

$\textrm{curl}\; v=\nabla \times v=\left| \begin{matrix} i & j & k \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ \end{matrix} \right|=\left( \frac{\partial v_{3}}{\partial y}-\frac{\partial v_{2}}{\partial z} \right)i+\left( \frac{\partial v_{1}}{\partial z}-\frac{\partial v_{3}}{\partial x} \right)j+\left( \frac{\partial v_{2}}{\partial x}-\frac{\partial v_{1}}{\partial y} \right)k$

$v$는 미분가능한 직교좌표계 $x, y, z$의 벡터함수이다. 만일 왼손좌표계의 경우에는 위의 행렬식에 음의 부호를 취한다.

물리적 의미

어떤 강체가 축을 중심으로 각속도 ω로 회전하고 있다. 그리고 이 강체 각 부분의 속도의 벡터장을 V라고하자. z축을 축으로 잡는다면 각속도 $\boldsymbol{\omega}=\omega\mathbf{k}$이고 $\mathbf{V}\left( x,y,z\right) =\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}=\omega\mathbf{k}\times(x\mathbf{i}+y\mathbf{j})=\omega x\mathbf{j}-\omega y\mathbf{i}$이다. V의 회전을 계산해본다면 $\nabla\times\mathbf{V}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\-\omega y&\omega x&0\end{vmatrix}=2\omega\mathbf{k}=2\boldsymbol{\omega}$, 즉 각속도와 연관이 있다. 따라서 $\nabla\times\mathbf{V}=\mathbf{0}$이라면 그 강체는 회전하고 있지 않다는 것을 의미한다.

그렇다면 이제 유체를 생각해보자. 유체의 한 지점에서 회전은 그 지점에 놓여진 강체의 각속도의 2배이다. 만약 그 지점의 회전이 0이라면 그 지점에 소용돌이가 존재하지 않는다. 예를 들어 목욕탕 배수구를 열었을 때 나타나는 물의 운동의 경우 배수구가 있는 정중앙을 제외한 나머지 부분에서 회전이 0이다. 즉, 물은 배수구를 중심으로 원운동을 하고 있지만 각각의 점에서 소용돌이가 일어나고 있지 않고 전체적으로 배수구를 휘감아 빠져나간다. 그러므로 만약 나뭇잎을 띄우면 나뭇잎은 흔들리지 않고 배수구 주위를 원운동하다가 배수구 근처에 다다랐을 때 회전을 시작할 것이다.

참고 문헌

Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0