조화급수

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조화급수(harmonic series) 란 다음의 발산하는 무한급수를 가리킨다.

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots.\!

조화급수라는 명칭은 배음 또는 음악의 화성학에서 유래되었다. 악기의 진동하는 현의 배음의 파장은 현의 기본 파장의 1/2, 1/3, 1/4, ...에 해당하는 값이다. 첫 번째 값 이후에 나오는 모든 값들은 이웃 값의 조화 평균이다. 조화 평균이라는 명칭 또한 음악에서 유래하였다.

역사[편집]

조화급수가 발산한다는 사실은 14세기 니콜 오렘에 의해 처음 증명되었으나, 이 발견은 세상에서 잊혀졌다. 그 후 17세기 피에트로 멩골리(Pietro Mengoli), 요한 베르누이, 야코프 베르누이에 의해 다시 증명되었다.

역사적으로 조화급수는 건축가들에게 특히 인기있었다. 이러한 경향은 바로크 시대에 특히 강해서, 건축가들은 교회와 궁전을 건축할 때 평면도 및 입면도상의 비례와 건물 내·외부간의 건축 디테일의 조화를 위해 조화급수를 사용하였다.[1]

발산성[편집]

수열 각각의 항은 점차 0 에 가까워지고 있음에도 불구하고, 총합은 무한대로 발산한다. 발산하는 속도는 매우 느려서 \log n에 가깝다. 최초 10^{43}개의 항을 모두 더해도 100 을 넘지 않는다. 따라서 이 급수는 수열의 항의 극한값이 0 임에도 급수의 값은 수렴하지 않는 예로 자주 등장한다.

비교판정법[편집]

가장 유명한 발산 증명으로 2^n개씩 항을 묶어 하한이 발산함을 증명하는 다음과 같은 기법이 있다.


\begin{align}
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} & {} =
1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right] +\cdots \\
& {} > 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] 
+ \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right] +\cdots \\
& {} = 1 + \ \frac{1}{2}\ \ \ + \quad \frac{1}{2} \ \quad + \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac{1}{2} \ \quad + \ \cdots.
\end{align}

이보다 값이 적은 수열이 발산하므로 조화급수도 발산하게 된다.

적분판정법[편집]

Integral Test.svg

적분판정법으로도 간단하게 발산함을 증명할 수 있다.

조화급수는 우측 그림에서 색칠한 사각형들의 넓이를 모두 더한 것이 된다. 그런데 만약 곡선 y = 1/x의 아래쪽 넓이가 무한대로 발산한다면, 조화급수도 발산하게 된다. 곡선 아래쪽의 넓이는 적분으로 다음과 같이 계산한다.

조화급수의 최초 k 항까지 더한 값과 1부터 k 까지의 구간을 적분한 값은 다음과 같다.

\sum_{n=1}^k \, \frac{1}{n} \;=\; \int_1^{k+1} \frac{1}{x}\,dx \;=\; \ln(k+1).

그런데 적분값이 k가 커짐에 따라 무한히 커질 수 있으므로 적분값이 발산하게 된다. 따라서 조화급수도 발산하게 된다.

잘 알려진 성질[편집]

이 무한급수는 리만 제타 함수에 1을 대입했을 때 얻어지는 수열이다. 따라서 리만 제타 함수는 1에서 특이점을 가지게 된다.

부호를 번갈아가며 쓴 교대조화급수(alternating harmonic series)는 수렴한다. 그 수렴 값은 \ln 2이다.

이 급수의 n항까지의 부분합을 조화수(harmonic number)라고 한다. 즉,

H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},\!

이 조화수는 절대 정수가 될 수 없다.

발산속도는 다음과 같다.

\sum_{n=1}^k\,\frac{1}{n} \;=\; \ln k + \gamma + O(1/k)

여기서 \gamma오일러-마스케로니 상수를 의미한다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. George L. Hersey (2002년 12월 1일). 《Architecture and Geometry in the Age of the Baroque》. University Of Chicago Press, 11-12, 37-51쪽. ISBN 0226327841