조화급수

조화급수(harmonic series) 란 다음의 발산하는 무한급수를 가리킨다.

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots.\!$

이 급수가 발산한다는 사실은 매우 잘 알려져 있으며, 다양한 증명방법이 존재한다. 이 급수는 리만 제타 함수에 1을 대입했을 때 만들어지는 수열이다.

발산성

수열 각각의 항은 점차 0 에 가까워지고 있음에도 불구하고, 총합은 무한대로 발산한다. 발산하는 속도는 매우 느려서 $\log n$에 가깝다. 최초 $10^{43}$개의 항을 모두 더해도 100 을 넘지 않는다. 따라서 이 급수는 수열의 항의 극한값이 0 임에도 급수의 값은 수렴하지 않는 예로 자주 등장한다.

비교판정법

가장 유명한 발산 증명으로 $2^n$개씩 항을 묶어 하한이 발산함을 증명하는 다음과 같은 기법이 있다.

$\begin{align} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} & {} = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right] +\cdots \\ & {} > 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right] +\cdots \\ & {} = 1 + \ \frac{1}{2}\ \ \ + \quad \frac{1}{2} \ \quad + \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac{1}{2} \ \quad + \ \cdots. \end{align}$

이보다 값이 적은 수열이 발산하므로 조화급수도 발산하게 된다.

적분판정법

적분판정법(Integral test)으로도 간단하게 발산함을 증명할 수 있다.

조화급수는 우측 그림에서 색칠한 사각형들의 넓이를 모두 더한 것이 된다. 그런데 만약 곡선 $y = 1/x$의 아래쪽 넓이가 무한대로 발산한다면, 조화급수도 발산하게 된다. 곡선 아래쪽의 넓이는 적분으로 다음과 같이 계산한다.

조화급수의 최초 $k$ 항까지 더한 값과 1부터 $k$ 까지의 구간을 적분한 값은 다음과 같다.

$\sum_{n=1}^k \, \frac{1}{n} \;>\; \int_1^{k+1} \frac{1}{x}\,dx \;=\; \ln(k+1).$

그런데 적분값이 $k$가 커짐에 따라 무한히 커질 수 있으므로 적분값이 발산하게 된다. 따라서 조화급수도 발산하게 된다.

잘 알려진 성질

이 무한급수는 리만 제타 함수에 1을 대입했을 때 얻어지는 수열이다. 따라서 리만 제타 함수는 1에서 특이점을 가지게 된다.

부호를 번갈아가며 쓴 교대조화급수(alternating harmonic series)는 수렴한다. 그 수렴 값은 $\ln 2$이다.

이 급수의 n항까지 부분합은 조화수(harmonic number)라고 한다. 즉,

$H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},\!$

이 조화수는 절대 정수가 될 수 없다. 이 증명은 중고교 경시대회 대비교재에서 흔히 연습문제로 나온다.

발산속도는 다음과 같다.

$\sum_{n=1}^k\,\frac{1}{n} \;=\; \ln k + \gamma + O(1/k)$

여기서 $\gamma$는 오일러-마스케로니 상수를 의미한다.

같이 보기

• 조화 수열