계승

계승(階乘) 또는 팩토리얼(Factorial) 또는 문화어: 차례곱은 1부터 $n$까지의 연속된 자연수를 차례로 곱한 값이다. 기호로는 $n!$과 같이 느낌표(!)를 사용하며 1808년 수학자 크리스티앙 크람프가 처음으로 썼다.

$n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\cdots$ 에 대한 계승의 수열은 다음과 같다.

• 0! = 1
• 1! = 1
• 2! = 2
• 3! = 6
• 4! = 24
• 5! = 120
• 6! = 720
• 7! = 5040
• 8! = 40320
• 9! = 362880
• 10! = 3628800
• 11! = 39916800
• 12! = 479001600
• 13! = 6227020800
• 14! = 87178291200
• 15! = 1307674368000
• 16! = 20922789888000
• 17! = 355687428096000
• 18! = 6402373705728000
• 19! = 121645100408832000
• 20! = 2432902008176640000

정의

계승함수는 아래와 같이 형식적으로 정의한다.

$n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{for all }n \ge 0 \!$

예를 들면,

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

또한 0에 대해서는

$0! = 1 \$

로 정의한다. 이 정의는 다음과 같은 이유에서 매우 유용하다.

• 계승의 점화식 (n + 1)! = n! × (n + 1) 이 n = 0 일 때까지 성립한다.
• 이 정의는 조합론에 등장하는 많은 공식에서 크기가 0인 집합에까지 식을 일반화한다.

이중 팩토리얼은 다음과 같이 정의된다.

$(2k-1)!! = \prod_{i=1}^k (2i-1)=\frac{(2k)!}{2^k k!}$

$(2k)!!= \prod_{i=1}^k (2i) = 2^k k!$

자연수가 아닌 경우의 정의

이 부분의 본문은 감마 함수입니다.

감마함수(gamma function)는 계승의 개념을 복소수로까지 확장시킨 함수이다.

자연수가 아닌 수에서도 감마 함수를 이용하여, 좀 더 일반적인 형태의 계승을 정의할 수 있다: 감마함수는 $\Gamma$로 표시하고, z>-1일때 다음과 같다.

$z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt \!$

마지막의 수식은 음수와 같은 예외를 포함한, 복소수 집합에서의 일반적인 계승을 나타낸다.

특히, 자연수 + 0.5 꼴의 수에서는

$n!=\sqrt{\pi}\times \prod_{k=0.5}^n k$

과 같이 계산된다.

예를 들면:

$3.5! = \sqrt{\pi} \cdot {1\over 2}\cdot{3\over2}\cdot{5\over2}\cdot{7\over2} \approx 11.6317$

$4.5! = \sqrt{\pi} \cdot {1\over 2}\cdot{3\over2}\cdot{5\over2}\cdot{7\over2}\cdot{9\over2} \approx 52.3428$