계승

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수학에서, 계승(階乘) 또는 팩토리얼(영어: factorial)[1] 또는 문화어: 차례곱1부터 n까지의 연속된 자연수를 차례로 곱한 값이다. 기호로는 n!과 같이 느낌표(!)를 사용한다.

정의[편집]

계승함수는 아래와 같이 형식적으로 정의한다.

n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{for all }n \ge 0 \!

예를 들면,

5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120

또한 0에 대해서는

0! = 1 \

로 정의한다. 이 정의는 다음과 같은 이유에서 매우 유용하다.

  • 계승의 점화식 (n + 1)! = n! × (n + 1) 이 n = 0 일 때까지 성립한다.
  • 이 정의는 조합론에 등장하는 많은 공식에서 크기가 0인 집합에까지 식을 일반화한다.

이중 계승(영어: double factorial)은 다음과 같이 정의된다.

(2k-1)!! = \prod_{i=1}^k (2i-1)=\frac{(2k)!}{2^k k!}
(2k)!!= \prod_{i=1}^k (2i) = 2^k k!

자연수가 아닌 경우의 정의[편집]

감마함수를 사용하여, 음의 정수가 아닌 복소수에 대하여 계승을 z!=\Gamma(z+1)으로 정의할 수 있다.

자연수가 아닌 수에서도 감마함수를 이용하여, 좀 더 일반적인 형태의 계승을 정의할 수 있다: 감마함수는 \Gamma로 표시하고, z>-1일때 다음과 같다.

z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt \!

마지막의 수식은 음수와 같은 예외를 포함한, 복소수 집합에서의 일반적인 계승을 나타낸다.

특히, 자연수 + 0.5 꼴의 수에서는

n!=\sqrt{\pi}\times \prod_{k=0.5}^n k

과 같이 계산된다.

예를 들면:

3.5! = \sqrt{\pi} \cdot {1\over 2}\cdot{3\over2}\cdot{5\over2}\cdot{7\over2} \approx 11.6317
4.5! = \sqrt{\pi} \cdot {1\over 2}\cdot{3\over2}\cdot{5\over2}\cdot{7\over2}\cdot{9\over2} \approx 52.3428

[편집]

음이 아닌 정수의 계승은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A142)

0! 1
1! 1
2! 2
3! 6
4! 24
5! 120
6! 720
7! 5 040
8! 40 320
9! 362 880
10! 3 628 800
11! 39 916 800
12 479 001 600
13! 6 227 020 800
14! 87 178 291 200
15! 1 307 674 368 000
16! 20 922 789 888 000
17! 355 687 428 096 000
18! 6 402 373 705 728 000
19! 121 645 100 408 832 000
20! 2 432 902 008 176 640 000

역사[편집]

계승의 기본적인 개념은 n개의 원소의 순열의 개수로서 이미 12세기 인도 수학에 알려져 있었다.[2]

프랑스어: factorielle 팍토리엘[*]이라는 이름은 프랑스의 루이 프랑수아 앙투안 아르보가(프랑스어: Louis François Antoine Arbogast)가 사용하였다. 느낌표 표기법은 1808년 수학자 크리스티앙 크랑(프랑스어: Christian Kramp)이 저서 《보편 산술 원론》(프랑스어: Elements d’arithmétique universelle)에서 처음으로 사용하였다. 크랑은 원래 계승을 프랑스어: faculté 파퀼테[*])라고 불렀으나, 이후 아르보가를 따라 "팍토리엘"을 대신 사용하였다.

주석[편집]

  1. 한국에서는 이 영어 발음을 줄여서 이라고 발음하는 경우도 흔하다. 이를테면 3! 은 3팩이라고 읽는다.
  2. (영어) Biggs, N. L. (1979년). The roots of combinatorics. 《Historia Math.》 6: 109−136.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]