대칭군 (군론)

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수학에서, 대칭군(對稱群, 영어: symmetric group)은 주어진 원소들을 재배열하는 방법(순열)들로 구성된 이다.

정의[편집]

집합 X대칭군X에서 X로 가는 모든 전단사함수(일대일 대응함수)의 집합에 구조를 준 것으로, 기호로는 S_X 또는 \operatorname{Sym}(X)로 표기한다. 이 때, 군 연산은 함수들의 합성이다. 즉, 두 함수 fg를 합성하여 새로운 전단사함수 f \circ g를 얻을 수 있다. 이 때, f \circ gX의 모든 원소 x에 대해 (f \circ g)(x) = f(g(x))로 정의한다. 이 연산과 함께 S_X는 군을 이룬다. 이 연산은 간단히 fg로 쓸 수도 있다.

특별히 중요하게 다루어지는 것은 유한 집합 X = \{1, \cdots, n\}의 경우이다. 이 집합의 대칭군 S_X = S_{\{1, \cdots, n\}}를 간단히 S_n으로 표기한다. S_n의 원소들을 X순열이라 한다.

성질[편집]

n개 원소에 대한 대칭군 \operatorname{Sym}(n)은 크기가 n!유한군이다. 오직 n\le2인 경우에만 아벨 군이며, 오직 n\le 4일 경우에만 가해군이다. 이것이 아벨-루피니 정리(5차 이상의 다항식은 거듭제곱근으로 풀 수 없음)의 기본적인 이유이다.

n개 원소에 대한 대칭군의 표시는 다음과 같다.

\operatorname{Sym}(n)\cong\langle\sigma_1,\dots,\sigma_{n-1}|\sigma_i^2,\;\sigma_i\sigma_j\sigma_i\sigma_j\;(j\ne i\pm1),\;\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}\rangle

여기서 \sigma_i순열 (i,i+1)에 대응한다.

응용[편집]

대칭군은 수학의 다양한 분야에 등장한다. 갈루아 이론에서, n차 대칭군은 일반적 n차 다항식의 갈루아 군이다. 리 군의 이론에서, n차 대칭군은 일반선형군 \operatorname{GL}(n,\mathbb C)특수선형군 \operatorname{SL}(n+1,\mathbb C)=A_n바일 군이며, 슈어 함자(영어: Schur functor)에 따라 특수선형군의 기약표현들은 대칭군의 기약표현과 대응한다. 또한, 대칭군은 콕서터 군 A_n과 같다.

낮은 차수의 대칭군[편집]

낮은 차수의 대칭군은 다음과 같다.

Sym(0) 1 (자명군)
Sym(1) 1 (자명군)
Sym(2) \mathbb Z/2 (2차 순환군)
Sym(3) Dih(6) (정이면체군), \operatorname{PGL}(2;\mathbb F_2) (2차 유한체에 대한 2×2 사영일반선형군)
Sym(4) \operatorname{PGL}(2;\mathbb F_3) (3차 유한체에 대한 2×2 사영일반선형군)

바깥 고리[편집]