거듭제곱

지수는 여기로 연결됩니다. 경제학 용어에 대해서는 지수 (경제학) 문서를 참조하십시오.

위에서 아래로: x^1/8, x^1/4, x^1/2, x¹, x², x⁴, x⁸.

거듭제곱은 이항 연산으로, 하나의 수를 여러 번 곱하는 연산을 의미한다. 기호로는 $a^n$ 또는 a^n으로 표기하며, 이때 $a$를 밑, $n$을 지수라고 한다.

정의

자연수 $n$에 대해, 거듭제곱 $a^n$은 다음과 같이 정의된다.

${{a^n = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop n}$

이것은 곱셈 연산이 덧셈을 반복하는 것과 유사하다. 또한 정의에 따라, 다음의 식이 성립한다.

• $a^1 = a\,$
• $a^n \times a^m = a^{n+m}$
• $(a^n)^m = a^{nm}$

다음과 같은 정의도 가능하다. :$a^{n+1} = a \times a^n$

성질

• $(a^b)^c = (a^c)^b = a^{bc}\,$
• ${a^b}{a^c} = a^{b+c}\,$
• ${a^c}{b^c} = (ab)^c\,$

다른 정의

거듭제곱은 숫자를 여러 번 곱하는 정의 말고도 여러가지 방법으로 정의할 수 있고, 이때 정의에 따라 $a^n$에서 n의 범위를 자연수보다 더 큰 범위로 생각할 수 있다.

정수

n이 음의 정수인 경우에는 다음과 같이 정의한다.

$a^n = \frac{1}{a^{-n}}$

그리고 이 경우에도 $a^n \times a^m = a^{n+m}$이 성립하려면 $a^n \times a^{-n} = a^{n+(-n)}$이 성립해야 하고, 따라서 $a^0$는 다음과 같이 정의한다.(a≠0일 경우)

$a^0 = 1\,$

유리수

유리수 $q$에 대해 $q = \frac{n}{m}$라고 하면, $(a^q)^m = \left({a^\frac{n}{m}}\right)^m = a^n$이 성립해야 한다. 따라서, 유리수 범위의 거듭제곱은 다음과 같이 정의한다.

$a^\frac{n}{m} = \sqrt[m]{a^n}$

실수

실수 x에 대해, e를 밑으로 하는 거듭제곱은 지수 함수로 정의된다.

또한, 극한을 이용하여 정의할 수도 있다.

$e^x = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(1+\frac{x}{n} \right) ^n$

멱급수로 표현하면 다음과 같다.

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x+ \frac{x^2}2+ \frac{x^3}6+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots \,$.

일반적인 실수에 대해서는 다음과 같이 정의한다.

$a^x = e^{x \ln a}\,$

복소수

x가 실수일 때, 허수단위 $i$를 포함하는 거듭제곱은 다음과 같다.

$e^{ix} = \cos x + i \sin x\,$

이 식은 오일러 공식으로도 부르며, 이 식에 따라 $e^{i\pi} = -1\,$가 성립한다.

이에 따라서, 복소수 $z = a + bi$일 때 $e^z$는 다음과 같이 구할 수 있다.

$e^z = e^{a+bi} = e^a e^{bi} = e^a(\cos b + i \sin b)\,$

그리고, 복소수가 지수로 오는 거듭제곱은 다음과 같다.

$w^z = w^{a+bi} = e^{(a+bi)\ln w} \,$