거듭제곱

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거듭제곱이항 연산으로, 하나의 수를 여러 번 곱하는 연산을 의미한다. 기호로는 a^n으로 표기하며, 이때 a, n지수라고 한다.

정의[편집]

자연수 n에 대해, 거듭제곱 a^n은 다음과 같이 정의된다.

{{a^n = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop n}

이것은 곱셈 연산이 덧셈을 반복하는 것과 유사하다. 또한 정의에 따라, 다음의 식이 성립한다.

  • a^1 = a.
  • {a^b}{a^c} = a^{b+c}.
  • (a^n)^m = a^{nm}.
  • (a^b)^c = (a^c)^b
  • {a^c}{b^c} = (ab)^c.
  • a^m \div a^n = a^{m-n}


다음과 같은 귀납적 정의도 가능하다:

  • a^1 = a.
  • a^{n+1} = a \times a^n,\ n=1, 2, 3, \cdots.

거듭제곱근[편집]

실수 a에 대하여 a^2,a^3,a^4,a^5 ... a^n ...(=a의 제곱, a의 세제곱, a의 네제곱, a의 다섯제곱 ... a의 n제곱 ...)을 통틀어 a의 거듭제곱이라고 하는 것처럼,

a의 제곱근, a의 세제곱근, a의 네제곱근, a의 다섯제곱근, ... a의 n제곱근 ... 을 통틀어 a의 거듭제곱근이라고 한다.

여기서,a의 양의 제곱근은 기호로

\sqrt[2]{a} 또는 \sqrt{a}

a의 양의 세제곱근은 기호로

\sqrt[3]{a}

a의 양의 네제곱근은 기호로

\sqrt[4]{a}

a의 양의 n제곱근은 기호로

\sqrt[n]{a}

와 같이 나타낸다.

즉, 거듭제곱근이란, \sqrt{a},\sqrt[3]{a}, \sqrt[4]{a}, ... , \sqrt[n]{a} ... 과 같은, 어떤 실수의 n제곱근을 말한다.

지수의 범위 확장[편집]

거듭제곱은 한 숫자를 여러 번 곱하는 정의 말고도 여러가지 방법으로 정의할 수 있다. 이때 거듭제곱의 정의에 따라 a^n에서 지수n의 범위를 양의 정수(자연수)보다 더 큰 범위로 생각할 수 있다.

즉, 여기서부터, 거듭제곱은 지수1에 숫자를 몇번 곱했느냐로 생각하겠다.

정수[편집]

n이 음의 정수인 경우에는 다음과 같이 정의한다.

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

그리고 이 경우에도 a^n \times a^m = a^{n+m}이 성립하려면 a^n \times a^{-n} = a^{n+(-n)}이 성립해야 하고, 따라서 a^0는 다음과 같이 정의한다.(a≠0[1]일 경우)

a^0 = 1\,

유리수[편집]

유리수 q에 대해 q = \frac{n}{m}라고 하면, (a^q)^m = \left({a^\frac{n}{m}}\right)^m = a^n이 성립해야 한다. 따라서, 유리수 범위의 거듭제곱은 다음과 같이 정의한다.

a^\frac{n}{m} = \sqrt[m]{a^n}

실수[편집]

실수 x에 대해, e를 밑으로 하는 거듭제곱은 지수 함수로 정의된다.

또한, 극한을 이용하여 정의할 수도 있다.

e^x = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(1+\frac{x}{n} \right) ^n

멱급수로 표현하면 다음과 같다.

e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x+ \frac{x^2}2+ \frac{x^3}6+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots \,.

일반적인 실수에 대해서는 다음과 같이 정의한다.

a^x = e^{x \ln a}\,

복소수[편집]

x가 실수일 때, 허수단위 i를 포함하는 거듭제곱은 다음과 같다.

e^{ix} = \cos x + i \sin x\,

이 식은 오일러 공식으로도 부르며, 이 식에 따라 e^{i\pi} = -1\,가 성립한다.

이에 따라서, 복소수 z = a + bi일 때 e^z는 다음과 같이 구할 수 있다.

e^z = e^{a+bi} = e^a e^{bi} = e^a(\cos b + i \sin b)\,

그리고, 복소수가 지수로 오는 거듭제곱은 다음과 같다.

w^z = w^{a+bi} = e^{(a+bi)\ln w}  \,

주석[편집]

  1. 00은 0a=0, a0=1이기 때문에 정의되지 않는다. 그러나 xx은 x가 0으로 접근하면 1에 수렴하기 때문에 1로 정의하기도 한다.