홀수와 짝수

홀수와 짝수

정수 중에서 2, 4, 6, 8, 10 등과 같이 2로 나누어 떨어지는 수를 짝수(even number)라 하고 그렇지 않은 수 1, 3, 5, 7, 9 등과 같은 수를 홀수(odd number)라 한다. 짝수는 2의 배수이다. 홀수는 2로 나누어 언제나 1이 남는다. 관습적으로 짝수의 집합을, 정수의 집합 이름 Z을 이용하여 2Z이라고 하고, 마찬가지로 홀수의 집합을 2Z+1이라고 한다.

성질

• 연속된 두 정수의 합은 홀수이다.
• 연속된 두 정수의 곱은 짝수이다.
• 십진법으로 나타냈을 때 일의 자리 숫자가 짝수이면 그 수는 짝수이다.

합, 차

합 (홀수)

• 홀수 ± 홀수 = 짝수
• 홀수 ± 짝수 = 홀수
• 짝수 ± 홀수 = 홀수
• 짝수 ± 짝수 = 짝수

(증명) n, m이 정수일 때,

1. 두 홀수 2n+1, 2m+1에 대하여
(2n+1)+(2m+1)=2n+2m+2=2(n+m+1)
n+m+1 역시 정수이므로 2(n+m+1)은 짝수이다.
∴ 홀수 + 홀수 = 짝수

2. 홀수 2n+1, 짝수 2m에 대하여
(2n+1)+(2m)=2n+2m+1=2(n+m)+1
n+m 역시 정수이므로 2(n+m)+1은 홀수이다.
∴ 홀수 + 짝수 = 홀수
→ 덧셈은 교환법칙이 성립되므로 '짝수 + 홀수'역시 홀수이다.

3. 두 짝수 2n, 2m에 대하여
(2n)+(2m)=2(n+m)
n+m 역시 정수이므로 2(n+m)은 짝수이다.
∴ 짝수 + 짝수 = 짝수

곱

곱 (짝수)

• 홀수 × 홀수 = 홀수
• 홀수 × 짝수 = 짝수
• 짝수 × 홀수 = 짝수
• 짝수 × 짝수 = 짝수

(증명) n, m이 정수일 때,

1. 두 홀수 2n+1, 2m+1에 대하여
(2n+1)×(2m+1)=4mn+2n+2m+1=2(2mn+n+m)+1
2mn+n+m 역시 정수이므로 2(2mn+n+m)+1은 홀수이다.
∴ 홀수 × 홀수 = 홀수

2. 홀수 2n+1, 짝수 2m에 대하여
(2n+1)×(2m)=2m(2n+1)=2(2mn+m)
2mn+m 역시 정수이므로 2(2mn+m)은 짝수이다.
∴ 홀수 × 짝수 = 짝수
→ 곱셈은 교환법칙이 성립되므로 '짝수×홀수'역시 짝수이다.

3. 두 짝수 2n, 2m에 대하여
(2n)×(2m)=4mn=2(2mn)
2mn 역시 정수이므로 2(2mn)은 짝수이다.
∴ 짝수 × 짝수 = 짝수

응용

패리티

패리티는 홀수와 짝수만을 구별하는 방법이다. 숫자들의 묶음을 통신수단을 통해 전송할 때, 가장 원시적인 확인 방법은 수의 합이 홀수인지 짝수인지를 구별하는 것이다.