정수

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수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수 단위 = \sqrt{-1}
\pi 원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( \notin \mathbb{Q})

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - L - μ - EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

정수(整數, 문화어: 옹근수)는 자연수(1, 2, 3, ...)와 이들의 음수(-1, -2, -3, ...)와 0으로 이루어진 수 체계를 말한다. 정수 전체의 집합은 보통 Z 또는 칠판 볼드체 \mathbb{Z}로 표기하며, 이런 표기는 독일어에서 를 뜻하는 Zahlen이란 단어에서 온 것이다. 정수는 자연수와 마찬가지로 가산 무한 집합이며, 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있다. 수론의 주요 연구대상이다.

정수의 정렬성[편집]

양의 정수 전체의 집합 N의 공집합이 아닌 부분집합은 최소원을 가진다.[1]

이러한 정수의 정렬성을 이용하여 자연수의 정렬성도 설명이 가능하다.

정수 체계의 존재[편집]

0을 포함한 덧셈과 곱셈을 가진 자연수 체계를 이용하여 덧셈과 곱셈을 가진 정수체계가 존재함을 보이자. 0을 포함한 자연수 집합 \mathbb{N}_0의 카테션 곱 \mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0에 동치관계 \sim(m,n)\sim (p,q) \leftrightarrow m+q=n+p라 정의하자. 그러면 이 동치관계를 이용한 상집합(quotient set)을 \mathbb{Z}라 하고 (m,n)의 동치류를 [m,n]으로 표시할 때, [m,n]+[p,q]=[m+p,n+q], [m,n]\cdot[p,q]=[mp+nq,mq+np]라 정의하면 정수 체계구성된다.

이러한 구성 방법은 일반적으로 준군에서 군으로 체계를 확장할 때 생기는 그로센딕 군의 한 형태이다.

자연수의 정렬성[편집]

자연수의 정렬성(Well-ordering property)의 경우, 자연수의 집합 P의 부분집합 S에 대하여 두 조건

  1. 1은 자연수의 원소이다.
  2. n이 S의 원소이면 n+1도 S의 원소이다.

이 두 가지가 성립하면 S=P이다.

대수적 특성[편집]

자연수 집합과 마찬가지로, 정수 집합은 덧셈곱셈에 대해 닫혀 있다. 하지만 자연수 집합과 다르게, 뺄셈에도 닫혀 있다. 나눗셈에는 닫혀 있지 않다.

덧셈 곱셈
닫힘: a + b  은 정수 a × b  은 정수
결합법칙: a + (b + c)  =  (a + b) + c a × (b × c)  =  (a × b) × c
교환법칙: a + b  =  b + a a × b  =  b × a
항등원: a + 0  =  a a × 1  =  a
역원: a + (−a)  =  0
분배법칙:   (a × b) + (a × c)=a × (b + c)  

주석[편집]

  1. 2001.정수론 입문, 윤영진