체 (수학)

대수적 구조
군(group)과 그 부류 마그마(magma) 반군(semigroup) 모노이드(monoid) 아벨 군(abelian group)
환(ring)과 그 부류 가환환(commutative ring) 정역(integral domain) 체(field)
가군(module)과 그 부류 벡터 공간

추상대수학에서 체(體, 영어: field, 독일어: Körper)는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈(0으로 나누는 것은 제외)의 사칙연산이 자유로이 시행될 수 있고, 산술의 잘 알려진 규칙들을 만족하는 대수적 구조이다. 모든 체는 환이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

대표적인 예로, 유리수체 Q, 실수체 R, 복소수체 C 및 임의의 소수 p에 대해 p를 법으로 하는 유한체 Z/pZ가 있다. 임의의 체 K에 대해, K 계수 유리함수의 집합 K(X)도 체가 된다.

임의의 체의 기호는 보통 영어나 독일어의 머릿글자를 따서 F나 k 또는 K이다.

체를 연구하는 수학의 분야를 체론이라고 한다.

정의

(아래의 정의들은 전부 서로 동치이다.)

정의 1

체는 가환 나눗셈환이다.

정의 2

가환환 $(F,\, +,\, *)$에서 0이 1과 같지 않고, 0을 제외한 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 가질 때 이를 체라 한다. (여기에서 0과 1은 각각 $(F,\, +,\, *)$ 내에서의 덧셈과 곱셈의 항등원을 말하며, 이는 일반적인 자연수 0이나 1과는 다르다.)

체의 공리

모델 이론의 언어를 사용하면, 체 signature는 쌍(tuple) $\langle +, *, 0, 1\rangle$으로, 여기에서 $+$와 $*$는 이항 연산 기호이며, 0과 1은 상수 기호이다. 쌍 $\langle F, +, *,0,1\rangle$ 에서, $F$는 집합이고 $+\,$와 $*\,$는 $F \times F$에서 $F$로의 함수이며 0과 1은 $F$의 원소인 것을 생각하면 이는 이 signature의 구조(혹은 모델)이 된다. '체'는 체 signature의 구조로 아래의 '체의 공리'를 만족하는 것을 말한다.

+와 *는 결합법칙을 만족한다

$\forall a b c ~ a \!+\! (b \!+\! c) = (a \!+\! b) \!+\! c$

$\forall a b c ~ a * (b * c) = (a * b) * c$

+와 *는 교환법칙을 만족한다

$\forall a b ~ a \!+\! b = b \!+\! a$

$\forall a b ~ a * b = b * a$

곱셈이 덧셈에 대해 분배법칙을 만족한다

$\forall a b c ~ a * (b+c) = (a * b) + (a * c)$

0은 덧셈의 항등원, 1은 곱셈의 항등원이며, 이 두 상수는 서로 다르다

$\forall x ~ x \!+\! 0 = x$

$\forall x ~ x * 1 = x$

$0 \not = 1.$

덧셈과 (0이 아닌 수의) 곱셈의 역원이 존재한다

$\forall x \exists y ~ x + y = 0$

$\forall x \exists y ~ x \not = 0 \rightarrow x * y = 1.$

0과 1이 같지 않다는 조건에 따라, 자명환은 체가 아니다. 공리로부터 $(F,\, +)$과 $(F - \{0\},\, *)$가 둘 다 가환군(아벨 군)이며, 따라서 (기초 군론 참고) 덧셈과 곱셈의 역원이 유일함을 보일 수 있다. 또한

$-a = (-1) * a\,$,

혹은 보다 일반적으로

$-(a * b) = (-a) * b = a * (-b)\,$

및

$a * 0 = 0\,$

등의 규칙들은 체 뿐만 아니라 모든 환에 대해 성립한다.

예

• 유리수 전체 Q는 가환체이다.
• 실수 전체 R, 복소수 전체 C도 가환체이다.
• 사원수 전체 H는 비가환체이다.
• {0, 1}에 다음과 같이 연산이 정의되어 있으면 체를 이루며, 이 체를 F₂ 라고 부른다. 이 체는 부호이론(coding theory)에서 중요하게 쓰인다.

덧셈 + 0 1 0 0 1 1 1 0

곱셈 ∗ 0 1 0 0 0 1 0 1

• p 를 소수라고 할 때, 집합 {0, 1, ..., p − 1} 에 연산을 정의하여 체를 만들 수 있다. 이런 체를 F_p , Z/pZ 또는 GF(p) 라고 쓴다.

같이 보기

• 환 (수학)
• 군 (수학)