극대 아이디얼

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극대 아이디얼(maximal ideal)은 어떤 아이디얼 중 집합의 포함관계에 대해 가장 큰 진 아이디얼이다.

즉, 환 R의 아이디얼 I가 극대 아이디얼일 필요충분조건은 IR이며, I를 부분집합으로 하는 아이디얼 J가 반드시 J = I 거나 J = R이라는 것이다. 즉, IR 사이에 I를 포함하는 아이디얼은 없다.

극대 아이디얼이 중요한 이유는, 극대 아이디얼의 몫(quotient) 환이 단순환(simple ring)이며, 단위원을 가진(unital) 가환환의 특별한 경우에는 몫환이 를 이루기 때문이다.

극대 아이디얼이 단 하나인 환을 국소환이라 한다.`

정의[편집]

R의 진(proper) 아이디얼 I (즉 IR)에 대해, IJ인 진 아이디얼 J이 없을 때, I극대 아이디얼이라 한다.

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성질[편집]

  • 만약 m이 극대 아이디얼이고 R이 가환환이면, k = R/m은 체이며, 이를 나머지체(residue field)라 한다.
  • 항등원을 가지는 가환환에서 모든 최대 아이디얼은 소 아이디얼이다. 극대 아이디얼은 단 두 개의 아이디얼만의 부분집합이라는 성질이 있다. 이 두 개의 아이디얼은 가 아이디얼과(improper ideal)과 최대 아이디얼 자신이다.
  • 크룰의 정리 (1929): 곱에 대해 항등원을 가지는 모든 가환환은 극대 아이디얼을 가진다.
  • 유니탈 가환환에서 극대 아이디얼일 충분 조건은 factor 환이 체인 것이다. 이는 유니탈이 아닌 환에서는 성립하지 않는다. 예를 들면 4\mathbb{Z}2\mathbb{Z} 에서 최대 아이디얼이지만, 2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}은 체가 아이니다.