극대 아이디얼

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환론에서, 극대 아이디얼(極大ideal, 영어: maximal ideal)은 전체가 아닌 아이디얼들의 극대 원소이다.

정의[편집]

R의 아이디얼 \mathfrak m에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아이디얼을 극대 아이디얼이라고 한다.

  • m\ne R이며, R의 임의의 아이디얼 \mathfrak a에 대하여, 만약 a\supset\mathfrak a라면 \mathfrak a=R이거나 \mathfrak a=\mathfrak m이다. 즉, R 전체가 아닌 아이디얼들 가운데 포함 관계에 대하여 극대 원소이다.
  • 몫환 \mathfrak R/\mathfrak m단순환이다. (이 정의에서, 자명환 0은 단순환이 아니다.)

마찬가지로, 환 R극대 좌 아이디얼(영어: maximal left ideal)은 R 전체가 아닌 좌 아이디얼들 가운데 극대 원소이며, 극대 우 아이디얼(영어: maximal right ideal)은 R 전체가 아닌 우 아이디얼들 가운데 극대 원소이다.

극대 아이디얼이 유일하게 존재하는 가환환국소환이라 한다.

성질[편집]

가환환 R의 아이디얼 \mathfrak m\subseteq R에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

극대 아이디얼에 대한 몫환으로 얻어지는 체를 잉여류체라고 한다.

가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아이디얼근기 아이디얼으뜸 아이디얼근기 아이디얼으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼

특히, 모든 최대 아이디얼은 소 아이디얼이다. 주 아이디얼 정역에서는 영 아이디얼이 아닌 모든 주 아이디얼은 극대 아이디얼이다.

크룰 정리(영어: Krull’s theorem)에 따라, 자명환이 아닌 모든 은 하나 이상의 극대 아이디얼을 가진다. 마찬가지로, 자명환이 아닌 모든 환은 하나 이상의 극대 좌 아이디얼과 극대 우 아이디얼을 갖는다.

[편집]

정수환 \mathbb Z의 극대 아이디얼들은 소수 p에 대한 주 아이디얼 (p)이다.

의 극대 아이디얼은 영 아이디얼 \{0\}밖에 없다.

바깥 고리[편집]