유리 함수층

대수기하학에서 유리 함수층(有理函數層, 영어: sheaf of rational functions)는 어떤 대수다양체 위에 존재하는 유리 함수들로 구성된 층이다.

정의

정역 스킴의 경우

정역 스킴 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 위의 유리 함수층 ${\mathcal {K}}_{X}$는 다음과 같은 체 값을 갖는 층이다. 임의의 공집합이 아닌 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여,

$\Gamma (U;{\mathcal {K}}_{X})=\operatorname {Frac} (\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X}))$

즉, 각 열린집합에 대응하는 정칙 함수들의 정역에 분수체를 취한 것이다. 물론, 공집합의 경우 층의 값은 항상 자명환이다.

$\Gamma (\varnothing ;{\mathcal {K}}_{X})=0$

일반적 스킴의 경우

임의의 국소환 달린 공간 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$의 유리 함수층 ${\mathcal {K}}_{X}$는 다음과 같이 정의한다.^{:140–141, §II.6}

각 열린집합 $U\subseteq X$ 및 $x\in U$에 대하여, 줄기 ${\mathcal {O}}_{X,x}$로 가는 표준적인 제약 사상

$\operatorname {res} _{U,x}\colon \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\to {\mathcal {O}}_{X,x}$

이 존재한다. 그렇다면, 다음과 같은 집합을 정의하자.

$S_{U}=\left\{f\in \Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})\colon \operatorname {res} _{U,x}(f)\in \operatorname {Reg} ({\mathcal {O}}_{X,x})\right\}=\bigcap _{x\in U}\operatorname {res} _{U,x}^{-1}\left(\operatorname {Reg} ({\mathcal {O}}_{X,x})\right)\subset \Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})$

여기서 $\operatorname {Reg} (-)$는 가환환에서 영인자가 아닌 원소들의 곱셈 모노이드이다. 이는 곱셈 모노이드들의 교집합이므로 역시 곱셈 모노이드를 이룬다.

그렇다면 $X$ 위의 준층 ${\tilde {\mathcal {K}}}_{X}$를 다음과 같은 국소화로 정의하자.

$\Gamma (U;{\tilde {\mathcal {K}}}_{X})=S_{U}^{-1}\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})$

여기서 $S_{U}^{-1}$은 국소화이다. 이 경우, 제약 사상은 국소화로 유도되는 자연스러운 사상들이다. $X$ 위의 유리 함수층 ${\mathcal {K}}_{X}$는 준층 ${\tilde {\mathcal {K}}}_{X}$의 층화이며, 이는 ${\mathcal {O}}_{X}$-가군층을 이룬다.

임의의 스킴 위의 유리 함수층의 경우, 단면들이 체를 이루지 않을 수 있다.

성질

줄기

$X$가 국소 뇌터 스킴이거나, 또는 축소 스킴이며 그 기약 성분의 집합이 국소적으로 유한하다고 하자 (즉, 임의의 점 $x$에 대하여, 그 기약 성분의 수가 유한한 열린 근방 $U\ni x$가 존재한다). 그렇다면, 유리 함수층의 줄기는 구조층의 줄기의 전분수환과 같다.^{:205:Lemma 7.1.12b}

${\mathcal {K}}_{X,x}=\operatorname {Frac} ({\mathcal {O}}_{X,x})$

아핀 스킴의 유리 함수층

가환환 $R$에 대하여, 전분수환 $\operatorname {Frac} (R)$에서 스펙트럼 위의 유리 함수환으로 가는 표준적인 환 준동형

$\operatorname {Frac} (R)\to \Gamma (\operatorname {Spec} R;{\mathcal {K}}_{\operatorname {Spec} R})$

이 존재하며, 이는 항상 단사 함수이다.^{:Remark 7.1.14}

만약 $R$가 뇌터 환이거나, 또는 유한 개의 극소 소 아이디얼들을 갖는 축소환이라면, 이는 환의 동형 사상을 이룬다.^{:Lemma 7.1.12b} 그러나 일반적으로 이는 동형 사상이 아니다.

코호몰로지

국소환 달린 공간 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 위에는 다음과 같은 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {K}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 1$

여기서 $(-)^{\times }$는 가역원층을 뜻한다. 이에 따라서 다음과 같은 층 코호몰로지 긴 완전열이 존재한다.

$1\to \Gamma (X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })\to \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{2}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \cdots$

여기서 각 코호몰로지 군들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

• $\Gamma (X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$: 가역 정칙 함수군
• $\Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })$: 가역 유리 함수군
• $\Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$: 카르티에 인자 군
• $\Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })/\Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })$: 카르티에 인자 유군
• $\operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$: 피카르 군

예

체 $K$에 대하여, 0차원 아핀 공간 $\mathbb {A} _{K}^{0}\operatorname {Spec} K=\{(0)\}$은 한원소 공간이며, 이 경우

$\Gamma (\operatorname {Spec} K,{\mathcal {K}}_{\operatorname {Spec} K})=K$

$\Gamma (\varnothing ,{\mathcal {K}}_{\operatorname {Spec} K})=0$

이다.

체 $K$에 대하여, 아핀 직선 $\mathbb {A} _{K}^{1}=\operatorname {Spec} K[x]$의 경우,

$\Gamma (\mathbb {A} _{K}^{1},{\mathcal {K}}_{\mathbb {A} _{K}^{1}})=K(x)$

이다. 즉, $K$의 계수의 유리 함수들의 체이다.

역사

알렉산더 그로텐디크가 1967년에 도입하였으나,^{:226–227, Propositions 20.1.1–3} 그로텐디크의 정의는 문제가 있었다. 이를 스티븐 클라이먼(영어: Steven Kleiman)이 1979년에 지적하고 교정하였다.

외부 링크

• “Rational function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Sheaf of rational functions”. 《nLab》 (영어). 
• de Jong, Johan (2010년 12월 3일). “Rational maps”. 《Stacks Project Blog》 (영어). 
• “Extra principal Cartier divisors on non-Noetherian rings?”. 《Math Overflow》 (영어).