곱 (범주론)

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범주론에서, (영어: product)은 곱집합이나 곱공간의 개념을 일반화한 개념이다. 항등사상 이외의 사상을 포함하지 않는 그림극한(limit)이다.

정의[편집]

범주 \mathcal C의 대상의 집합 \{X_i\}_{i\in I}를 생각하자. 그렇다면 이 집합의 \prod_{i\in I}X_i는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

  • 대상 X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)
  • X_i에 대하여, 사상 \pi_i\colon X\to X_i. 이들을 사영 사상(projection morphism)이라고 한다.

이들은 다음과 같은 조건을 만족하여야 한다. 임의의 대상 Y\in\operatorname{ob}(\mathcal C)와 사상 f_i\colon Y\to X_i에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 f\colon Y\to X가 존재한다.

\pi_if=f_i.

즉, 다음 그림을 가환시키는 유일한 f가 존재한다.

CategoricalProduct-01.png

[편집]

각종 범주에서의 곱은 다음과 같다.

범주
집합의 범주 \operatorname{Set} 곱집합 A\times B
위상공간의 범주 \operatorname{Top} 곱공간 A\times B
의 범주 \operatorname{Grp} 직접곱 A\times B
아벨 군의 범주 \operatorname{Ab} 직접곱 A\times B (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치)
K에 대한 벡터 공간의 범주 K-\operatorname{Vect} 직접곱 A\times_k B (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치)
R에 대한 좌가군의 범주 R-\operatorname{Mod} 직접곱 A\times_R B (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치)
집합이항관계의 범주 \operatorname{Rel} 분리합집합 A\sqcup B

같이 보기[편집]