리 군

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리 군(Lie群, 영어: Lie group)은 미분다양체인 위상군이다. 즉 군의 연산이 미분구조에 따라 매끈한 경우다. 소푸스 리의 이름을 땄다. 연속적인 대칭을 나타내기 위하여 쓰인다.

정의

실수 리 군(영어: real Lie group)은 군의 구조를 지니고, 그 연산(곱셈과 역)이 매끈한, 매끈한 실수 미분다양체다. 즉 군과 다양체의 구조를 동시에 지니며, 그 두 구조가 서로 호환되는 경우다. 유사하게 복소 리 군(영어: complex Lie group)을 정의할 수 있다. 또는 범주론적으로 매끈한 미분다양체의 군 대상으로 정의할 수도 있다.

구조론

다음을 보일 수 있다.

• 유한개의 리 군의 곱공간은 리 군을 이룬다.
• 리 군의 (위상적으로) 닫힌 부분군은 리 군을 이룬다. (카르탕 정리)
• 리 군의 닫힌 정규부분군에 대한 상군(quotient group)은 리 군이다.
• 리 군의 전피복공간(universal cover)은 리 군이다. (전피복공간이 아닌 다른 피복에서는 군 구조가 매끈하지 않을 수 있다.)

연결공간이 아닌 리 군 G는 다음과 같이 이산군과 연결 리 군으로 분해할 수 있다. G₀을 단위원을 포함하는 최대 연결 부분군이라고 하자. 그렇다면 $G/G_0$은 이산군이다. 다시 말해, 모든 리 군은 연결 리 군의 이산군에 대한 확대(extension)다. 모든 연결 리 군은 또한 (보편적 덮개를 취하여) 단일연결 리 군 $\tilde G$의 상군 $G_0=\tilde G/N$ (여기서 $N$은 이산 중앙 정규부분군)으로 나타내어진다. 따라서 리 군의 분류는 단일연결 리 군의 분류로 귀결된다.

(유한 차원) 단일연결 리 군은 그 리 대수로 완전히 결정된다. 리 대수는 그 가해 부분대수와 단순 부분대수로 분해된다. 단순 리 군은 분류가 완료되었으나, 가해 리 군의 분류는 매우 어렵다.

표현론

리 군 G의 유한차원 벡터 공간 V 위에서의 표현(表現, 영어: representation)은 매끈한 준동형사상 $G\to\operatorname{GL}(V)$이다. 힐베르트 공간 $H$ 위의 표현일 경우, 대개 유계(有界, bounded)이고, 가역(可易, invertible)이고, 그 역이 유계인 작용소(operator)군 $B(H)$으로 가는 매끈한 준동형사상 $G\to B(H)$로 정의한다.

반단순(semisimple) 리 군의 유한차원 표현은 기약(旣約, irreducible) 표현의 직합으로 나타내어진다.

참고 문헌

• Adams, John Frank (1969). 《Lectures on Lie Groups》. Chicago: Univ. of Chicago Press. ISBN 0-226-00527-5
• Chevalley, Claude (1999). 《Theory of Lie groups》, Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton Mathematical Series 8, 15판, Princeton: Princeton University Press. Zbl 0946.22001. ISBN 0-691-04990-4
• Hall, Brian C. (2003). 《Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction》. Springer. ISBN 0-387-40122-9
• Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie Groups Beyond an Introduction》, Progress in Mathematics 140, 2판, Birkhäuser. Zbl 1075.22501. ISBN 0-8176-4259-5
• Rossmann, Wulf (2001). 《Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups》. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-859683-7. The 2003 reprint corrects several typographical mistakes.
• Serre, Jean-Pierre (1965). 《Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures given at Harvard University》. Springer. ISBN 3-540-55008-9
• Steeb, Willi-Hans (2007). 《Continuous Symmetries, Lie algebras, Differential Equations and Computer Algebra: second edition》. World Scientific Publishing. ISBN 981-270-809-X
• Alexandrino, Marcos M., Renato G. Bettiol (2010년 8월). Introduction to Lie groups, isometric and adjoint actions and some generalizations. arXiv:0901.2374. Bibcode: 2009arXiv0901.2374A.
• Yokota, Ichiro (2009년 2월). Exceptional Lie groups. arXiv:0902.0431. Bibcode: 2009arXiv0902.0431Y.

리 이론의 역사

• Borel, Armand (2001). 《Essays in the history of Lie groups and algebraic groups》, History of Mathematics 21, American Mathematical Society/London Mathematical Society. MR1847105, Zbl 1087.01011. ISBN 978-0-8218-0288-5
• Hawkins, Thomas (2000). 《Emergence of the theory of Lie groups: An Essay in the History of Mathematics 1869–1926》, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Berlin, New York: Springer-Verlag. MR1771134, Zbl 0965.01001. ISBN 978-0-387-98963-1

응용

• Georgi, Howard (1999년 10월). 《Lie Algebras in Particle Physics from Isospin To Unified Theories》, Frontiers in Physics 54, 2판, Boulder, Colorado: Westview Press. Zbl 0505.00036. ISBN 978-0738202334
• Tung, Wu-Ki (1985년 8월). 《Group Theory In Physics: An Introduction to Symmetry Principles, Group Representations, and Special Functions in Classical and Quantum Physics》. Singapore: World Scientific. Zbl 0952.81500, Zbl 0638.20009. ISBN 978-9971-966-57-7

같이 보기

• 리 대수
• E₈, E₇, E₆, F₄, G₂

바깥 고리

• (영어) Eric Wolfgang Weisstein. Lie Group. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
• (영어) Eric Wolfgang Weisstein. Compact Lie Group. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.