리 군

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리 군(Lie群, 영어: Lie group)은 미분다양체위상군이다. 즉 의 연산이 미분구조에 따라 매끈한 경우다. 소푸스 리의 이름을 땄다. 연속적인 대칭을 나타내기 위하여 쓰인다.

정의[편집]

실수 리 군(영어: real Lie group)은 군의 구조를 지니고, 그 연산(곱셈과 역)이 매끈한, 매끈한 실수 미분다양체다. 즉 군과 다양체의 구조를 동시에 지니며, 그 두 구조가 서로 호환되는 경우다. 유사하게 복소 리 군(영어: complex Lie group)을 정의할 수 있다. 또는 범주론적으로 매끈한 미분다양체의 군 대상으로 정의할 수도 있다.

구조론[편집]

다음을 보일 수 있다.

  • 유한개의 리 군의 곱공간은 리 군을 이룬다.
  • 리 군의 (위상적으로) 닫힌 부분군은 리 군을 이룬다. (카르탕 정리)
  • 리 군의 닫힌 정규부분군에 대한 상군(quotient group)은 리 군이다.
  • 리 군의 전피복공간(universal cover)은 리 군이다. (전피복공간이 아닌 다른 피복에서는 군 구조가 매끈하지 않을 수 있다.)

연결공간이 아닌 리 군 G는 다음과 같이 이산군과 연결 리 군으로 분해할 수 있다. G₀을 단위원을 포함하는 최대 연결 부분군이라고 하자. 그렇다면 G/G_0은 이산군이다. 다시 말해, 모든 리 군은 연결 리 군의 이산군에 대한 확대(extension)다. 모든 연결 리 군은 또한 (보편적 덮개를 취하여) 단일연결 리 군 \tilde G의 상군 G_0=\tilde G/N (여기서 N은 이산 중앙 정규부분군)으로 나타내어진다. 따라서 리 군의 분류는 단일연결 리 군의 분류로 귀결된다.

(유한 차원) 단일연결 리 군은 그 리 대수로 완전히 결정된다. 리 대수는 그 가해 부분대수와 단순 부분대수로 분해된다. 단순 리 군은 분류가 완료되었으나, 가해 리 군의 분류는 매우 어렵다.

표현론[편집]

리 군 G의 유한차원 벡터 공간 V 위에서의 표현(表現, 영어: representation)은 매끈한 준동형사상 G\to\operatorname{GL}(V)이다. 힐베르트 공간 H 위의 표현일 경우, 대개 유계(有界, bounded)이고, 가역(可易, invertible)이고, 그 역이 유계인 작용소(operator)군 B(H)으로 가는 매끈한 준동형사상 G\to B(H)로 정의한다.

반단순(semisimple) 리 군의 유한차원 표현은 기약(旣約, irreducible) 표현의 직합으로 나타내어진다.

역사[편집]

리 군의 이론은 노르웨이의 수학자 소푸스 리가 1873년 경에 도입하였다. 그러나 리의 논문들은 (하나를 제외하고) 모두 노르웨이어 저널에 출판되었기 때문에, 수학계에서 별다른 관심을 받지 못하였다. 1884년에 젊은 독일 수학자 프리드리히 엥겔(독일어: Friedrich Engel)이 리의 이론에 관심을 갖게 되었다. 리와 엥겔은 리 이론에 대한 총 3권의 책 《변환군론》(독일어: Theorie der Transformationsgruppen)을 1888년~1893년에 독일어로 출판하였고, 이후 리 이론은 수학에서 중요한 위치를 차지하게 되었다.

1888년에 빌헬름 킬링반단순 리 군의 구조론을 제창하였고, 이는 이후 엘리 카르탕에 의하여 개량·정리되었다. 헤르만 바일은 반단순 리 군의 기약 표현들을 무게로서 분류하였고, 이를 양자역학에 응용하였다. 그 뒤 클로드 슈발레하리시찬드라 역시 리 군의 이론에 큰 공헌을 하였고, 이는 이후 로버트 랭글랜즈랭글랜즈 프로그램으로 이어졌다.

참고 문헌[편집]

리 이론의 역사[편집]

응용[편집]

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]