평탄 가군

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환론호몰로지 대수학에서, 평탄 가군(平坦加群, 영어: flat module 플랫 모듈[*])은 단사 가군 준동형사상에 텐서곱을 하여도 단사성이 보존되는 가군이다.

정의[편집]

(곱셈 항등원을 가진) R에 대한 좌가군 M\in R\text{-Mod}이 있다고 하자. 그렇다면, M과의 텐서곱은 다음과 같은 함자를 정의한다.

-\otimes_RM\colon \text{Mod-}R\to\operatorname{Ab}

여기서 \text{Mod-}R는 우가군들의 범주이며, \operatorname{Ab}아벨 군들의 범주이다. 만약 이 함자가 완전 함자라면, M평탄 가군이라고 한다.

성질[편집]

R가 (곱셈 항등원을 가진) 가환환이며, MR-가군이라고 하자. 그렇다면, 다음 조건들은 서로 동치이다.

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(곱셈 항등원을 가진) 가환환 R의, 임의의 곱셈에 대하여 닫힌 부분집합 S\subseteq R에 대한 국소화 S^{-1}R는 평탄 R-가군이다.

\mathbb Z/n은 평탄 \mathbb Z-가군이 아니다. 예를 들어, n\cdot\colon\mathbb Z\to\mathbb Z는 단사함수이지만, \mathbb Z/n과의 텐서곱을 취하면 \mathbb Z/n\to\mathbb Z/n은 더 이상 단사함수가 아니다.

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같이 보기[편집]