데데킨트 정역

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

추상대수학에서 데데킨트 정역(Dedekind domain) 또는 데데킨트 환(Dedekind ring)은 리하르트 데데킨트의 이름을 따 만들어진 개념으로, 뇌터 정역 R을 임의의 극대 아이디얼 P에 대해 국소화한 결과인 RP가 언제나 주 아이디얼 정역인 경우를 말한다. 이때 RP이거나 이산부치환(discrete valuation ring)임을 보일 수 있다.

다른 정의[편집]

위와 동치인 조건으로, 데데킨트 정역은 크룰 차원이 1 이하이고 정수적으로 닫힌(integrally closed) 정역으로 정의할 수도 있다. 다른 말로 하면, 데데킨트 정역은 영인자를 갖지 않는 가환환으로 모든 아이디얼이 유한 생성되고, 모든 0이 아닌 소 아이디얼극대 아이디얼이며, 자기 자신의 분수체(fraction field) 안에서 정수적으로 닫힌 경우를 말한다.

또다른 정의는, 모든 아이디얼이 유한 개의 소 아이디얼의 곱으로 표현될 수 있는 정역이라는 것이다. (실제로는 이 정의가 맨 처음에 제시되었다.) (0)을 제외한 모든 아이디얼에 대해, 이 표현은 (소 아이디얼들의 순서를 무시하면) 유일하다.

[편집]

정수환 및 임의의 F 상의 일변수 다항식환 F[X]을 비롯해, 모든 주 아이디얼 정역은 데데킨트 정역이다. 유리수체 Q 상의 유한 확대체 F에 포함된 대수적 정수의 집합 (즉, 수체 F의 정수환) OF는 데데킨트 정역이지만 일반적으로는 주 아이디얼 정역이 아니다. 데데킨트 정역의 구체적인 예로는, Q(i)의 대수적 정수인 가우스 정수의 환인 Z[i]를 들 수 있다. Q (\sqrt{-5})의 정수환 Z [\sqrt{-5}]는 데데킨트 정역이면서 주 아이디얼 정역은 아닌 예이다.

성질[편집]

역사적 의미[편집]

대수적 정수의 환에서는 산술의 기본정리가 성립하지 않는다. 그러나 리하르트 데데킨트는 "이상적인 수"(ideal number)에 대해서는 산술의 기본정리가 성립할 거라고 생각했으며, 사실 '아이디얼'(ideal)이라는 명칭도 여기에서 유래했다. 비록 데데킨트 정역에서 언제나 원소의 유일 인수분해가 성립하는 것은 아니나, 위에서 언급했듯이 아이디얼에 대해서는 성립한다.

아이디얼을 정수로 본다면 분수 아이디얼은 유리수로 볼 수 있을 것이다. R이 분수체 E를 갖는 데데킨트 정역일 때, I가 R의 분수 아이디얼이라는 것은 이것이 E의 R-부분가군이며 rI ⊆ R을 만족하는 R의 원소 r이 존재한다는 것과 같다. 분수 아이디얼도 보통 아이디얼처럼 더하고 곱할 수 있으며, I가 0이 아닐 경우 그 역 아이디얼 I-1을 {x in E : xI ⊆ R}로 정의하면 II-1 = R이 된다. 데데킨트 정역에서는 분수 아이디얼에 대해서도 유일 인수분해가 성립하는데, 즉 임의의 분수 아이디얼은 R의 소 아이디얼들과 그 역 아이디얼들의 곱으로 유일하게 표현할 수 있다.

참고자료[편집]

Nicolas Bourbaki, Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1972