데데킨트 정역

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가환대수학에서, 데데킨트 정역(Dedekind整域, 영어: Dedekind domain) 또는 데데킨트 환(Dedekind環, 영어: Dedekind ring)은 아이디얼소인수 분해가 유일한 정역이다.

정의[편집]

R정역이라고 하자. 그렇다면 다음 네 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역데데킨트 정역이라고 한다.

  • 0이 아닌 모든 진 아이디얼소 아이디얼로 유일하게 인수 분해가 가능하다. 즉, 모든 아이디얼 \mathfrak a\ne\{0\},R에 대하여,
\prod_{\mathfrak p\in F(\mathfrak a)}\mathfrak p=\mathfrak a
인 유한 중복집합 F(\mathfrak a)\subseteq\operatorname{Spec}R가 존재하며, 또한 이러한 중복집합은 유일하다.

마지막 조건은 대수기하학적으로 비특이 아핀 대수곡선을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

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성질[편집]

R가 데데킨트 정역이고, \operatorname{Frac}(R)가 그 분수체이며, L/\operatorname{Frak}(R)가 그 유한 차원 확대라 하자. 이때, RL 안에서의 정수적 폐포는 데데킨트 정역이다.

아이디얼류군은 데데킨트 정역에서 유일 인수분해가 실패하는 정도를 측정한다. 데데킨트 정역 R의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.

역사적 의미[편집]

대수적 정수의 환에서는 산술의 기본정리가 성립하지 않는다. 그러나 리하르트 데데킨트는 "이상적인 수"(ideal number)에 대해서는 산술의 기본정리가 성립할 거라고 생각했으며, 사실 '아이디얼'(ideal)이라는 명칭도 여기에서 유래했다. 비록 데데킨트 정역에서 언제나 원소의 유일 인수분해가 성립하는 것은 아니나, 위에서 언급했듯이 아이디얼에 대해서는 성립한다.

아이디얼을 정수로 본다면 분수 아이디얼은 유리수로 볼 수 있을 것이다. R이 분수체 E를 갖는 데데킨트 정역일 때, I가 R의 분수 아이디얼이라는 것은 이것이 E의 R-부분가군이며 rI ⊆ R을 만족하는 R의 원소 r이 존재한다는 것과 같다. 분수 아이디얼도 보통 아이디얼처럼 더하고 곱할 수 있으며, I가 0이 아닐 경우 그 역 아이디얼 I-1을 {x in E : xI ⊆ R}로 정의하면 II-1 = R이 된다. 데데킨트 정역에서는 분수 아이디얼에 대해서도 유일 인수분해가 성립하는데, 즉 임의의 분수 아이디얼은 R의 소 아이디얼들과 그 역 아이디얼들의 곱으로 유일하게 표현할 수 있다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]