유니터리 군

수학에서, 유니터리 군(unitary group)은 유니터리 행렬의 리 군이다. 기호는 $U(n)$.

정의

유니터리 군 $U(n)$은 $n\times n$ 유니터리 행렬의 리 군이다. 즉,

$U(n)=\{M\in\operatorname{GL}(n,\mathbb C)|M^\dagger M=1\}$

이다.

성질

유니터리 행렬의 행렬식은 그 절대값이 1인 복소수이다. 즉

$\det\colon U(n)\to U(1)$

인 군 준동형사상이 존재한다. 이에 대한 몫군은 특수 유니터리 군 $SU(n)$이다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to SU(n)\hookrightarrow U(n)\xrightarrow{\det}U(1)\to1$.

유니터리 군 $U(n)$은 $2n^2$차원 실수 리 군이다. (주: 복소 리 군을 이루지 않는다.) 그 리 대수는

$\mathfrak u(n)=\mathfrak{su}(n)\oplus\mathfrak u(1)$

이다. 유니터리 행렬의 로그는 반에르미트 행렬(anti-Hermitian matrix)이므로, $\mathfrak u(n)$는 반에르미트 행렬로 이루어져 있다.

유니터리 군 U(1)은 1차원 컴팩트 아벨 군이며, SO(2)와 같다. 이는 위상수학적으로 원 $\mathbb S^1$이다.