가역행렬

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선형대수학에서 가역행렬(invertible matrix), 또는 비특이행렬(non-singular matrix)은 역행렬(inverse matrix)을 갖는 $n \times n$ 행렬을 가리킨다.

역행렬이란, 어떤 행렬 $A$ 에 대해 다음과 같은 성질을 만족하는 행렬 $B$ 를 일컫는다.

$AB = BA = I_n \$

여기서 $I n$ 은 $n \times n$ 단위행렬을 말한다.

이런 성질을 만족하는 $B$ 는 임의의 정사각행렬 $A$ 에 대해 존재하지 않거나, 단 하나만 존재한다. 이런 행렬을 역행렬이라 하고 $A - 1$ 로 표기한다.

역행렬을 갖지 않는 행렬을 비가역행렬, 또는 특이행렬이라 한다. 대개 실수나 복소수 위에 정의된 행렬에 대해 역행렬을 정의하지만, 임의의 환 위에 정의된 행렬에 대해서도 마찬가지로 이 정의를 적용할 수 있다.

[편집] 가역행렬의 성질

$A$ 가 체 $K$ 위에서 정의된 $n \times n$ 행렬이라 하자. 그러면 다음의 모든 명제들은 서로 같은 의미를 지닌다.

$A$ 의 기약 행 사다리꼴이 $I n$ 이다.
$A$ 는 기본행렬의 곱으로 표현가능하다.
$A$ 는 가역행렬이다.
$A B = I$ 를 만족하는 $n \times n$ 행렬 $B$ 가 존재한다.
방정식 $A x = 0$ 의 해는 오직 $x = 0$ 뿐이다.
방정식 $A x = b$ 의 해가 임의의 $b$ 에 대해 유일하게 단 하나 존재한다.
$A$ 가 완전한 열계수를 가지고 있다.
전치행렬과 행렬의 곱 $A T A$ 가 가역행렬이다.
$A$ 의 열이 $K n$ 의 기저를 이룬다.
$A$ 의 전치행렬 $A T$ 가 가역행렬이다.
${\color{Blue}\det}(A) \neq 0$
0은 $A$ 의 고유값이 아니다.
${\color{Blue}\operatorname{rank}}\ A = n$

또한, 역행렬은 다음과 같은 성질을 갖는다.

$A$ 의 역행렬에 다시 역행렬을 취하면 자기 자신이 된다:

${(A^{-1})}^{-1} = A$

$A$ 에 스칼라 $k$ 를 곱한 것에 역행렬을 취하면 $A$ 의 역행렬과 $k$ 의 역원의 곱이 된다.

${(kA)}^{-1} = k^{-1}A^{-1} \$

두 가역행렬 $A$ 와 $B$ 의 곱은 여전히 가역행렬이며, 그 역행렬은 각각의 역행렬을 반대로 곱한 것과 같다.

${(AB)}^{-1} = B^{-1}A^{-1} \$

위 세 가지 성질에 의해 $n \times n$ 가역행렬의 집합은 하나의 군을 이룬다.

[편집] 역행렬을 구하는 법

[편집] 가우스 소거법

가우스 소거법은 어떤 행렬이 가역행렬인지를 판단하고 그 행렬의 역행렬을 구할 수 있는 알고리즘이다. LU 분해를 이용해 두 개의 삼각행렬로 분해하면 가우스 소거법을 더 빨리 계산할 수 있다. 또는 $mn \times mn$ 행렬을 $n \times n$ 을 원소로 갖는 $m \times m$ 행렬로 나누어 재귀적으로 계산하면 행렬의 특성에 따라 더 빠른 계산이 가능하다.

[편집] 수치해석적 방법

행렬의 공통인자로 이루어진 행렬을 구해 계산하면 작은 크기의 행렬에 대해서는 더 빨리 계산할 수도 있다. (큰 행렬에 대해서는 적당치 않다.) 다음과 같이 공통인자 행렬을 구한다.

$A^{-1}={1 \over \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}\left(C_{ij}\right)^{T}={1 \over \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}} \begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{j1} \\ C_{12} & \ddots & & C_{j2} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ C_{1i} & \cdots & \cdots & C_{ji} \\ \end{pmatrix}$

여기서 $| A |$ 는 $A$ 의 행렬식을 가리키고 $C i j$ 는 행렬의 공통인자, $A T$ 는 $A$ 의 전치행렬을 가리킨다.

수치 해석에서 대부분의 경우 선형 시스템을 풀기 위해 역행렬을 구할 필요는 없기 때문에 이 방법으로 실제로 역행렬을 구하는 경우는 별로 없다.

[편집] 2 × 2 행렬의 역행렬

위의 공통인자 방정식에서 $n$ 이 2일 경우 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

$A^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix}$

2 × 2 행렬의 역행렬은 위 방법을 통해 빠르게 계산할 수 있다.

[편집] 3 × 3 행렬의 역행렬

위의 공통인자 방정식에서 $n$ 이 3일 경우 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

$A^{-1} = \begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} ei - fh & ch - bi & bf - ce \\ fg - di & ai - cg & cd - af \\ dh - eg & bg - ah & ae - bd \end{bmatrix}$

$|A| = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg) \$

3 × 3 행렬의 역행렬은 위 방법을 통해 빠르게 계산할 수 있다.

[편집] 작은 블록으로 나눠서 계산하는 법

다음과 같은 식을 이용하면 행렬을 몇개의 작을 행렬로 나누어 계산할 수 있다.

$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1} \\ -(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & (D-CA^{-1}B)^{-1} \end{bmatrix}$

$A, B, C, D$ 는 행렬의 임의의 작은 블록이다. 이 방법은 $A$ 가 대각행렬이고 $(D - C A - 1 B)$ (슈어 보행렬)가 작은 크기일 때 특히 유용하다. 두 개의 행렬에 대한 역행렬만 계산하면 되기 때문이다. 이 방법은 행렬을 더 빠르게 곱하는 슈트라센 알고리즘의 개발자 포커 슈트라센이 발견했다.

[편집] 역행렬의 도함수

행렬 $A$ 가 $t$ 라는 변수에 따라 변한다고 하자. 이때 $A$ 의 역행렬의 도함수는 다음과 같다.

$\frac{\mathrm{d}A^{-1}}{\mathrm{d}t} = - A^{-1} \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} A^{-1}.$

[편집] 바깥 고리

역행렬 계산기