E₆

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리 이론에서, E6는 다섯 개의 예외적 단순 리 군 가운데 하나다. 78차원의 리 군이며, 그 리 대수\mathfrak e_6이다.

실수 형식[편집]

E6는 다섯 개의 실수 형식(real form)을 갖는다. 이들은 다음과 같다 (중심이 없는 형태).

기호 다른 기호 설명 기본군 외부자기동형군
E6(−78) 콤팩트 형식 \mathbb Z/3\mathbb Z \mathbb Z/2\mathbb Z
E6(6) EI 갈린(split) 형식 \mathbb Z/2\mathbb Z \mathbb Z/2\mathbb Z
E6(2) EII \mathbb Z/6\mathbb Z \mathbb Z/2\mathbb Z
E6(−14) EIII \mathbb Z 1
E6(−26) EIV 1 \mathbb Z/2\mathbb Z

표현론[편집]

E6기약표현의 차원들은 다음과 같다 (OEIS의 수열 A121737).

1, 27 (×2), 78, 351 (×4), 650, 1728 (×2), 2430, 2925, 3003 (×2), 5824 (×2), 7371 (×2), 7722 (×2), 17550 (×2), 19305 (×4), 34398 (×2), 34749, 43758, 46332 (×2), 51975 (×2), 54054 (×2), 61425 (×2), 70070, 78975 (×2), 85293, 100386 (×2), 105600, 112320 (×2), 146432 (×2), 252252 (×2), 314496 (×2), 359424 (×4), 371800 (×2), 386100 (×2), 393822 (×2), 412776 (×2), 442442 (×2), …

여기서 (×n)은 같은 차원의 서로 다른 기약표현들이 n개 있다는 뜻이다. 기약표현들의 차원이 자주 중복되는 이유는 E6딘킨 도형이 대칭적이기 때문이다. 이 가운데 기본표현27, 27, 78, 351, 351, 2925 여섯 개이다.

E8은 E6를 부분군으로 가진다. 정확히 말하면, (E_6\times\operatorname{SU}(3))/(\mathbb Z/3\mathbb Z)E8의 최대 부분군이다. 이 경우, E8딸림표현 248은 다음과 같이 분해된다.

\mathbf{248}\to(\mathbf1,\mathbf8)\oplus(\mathbf{78},\mathbf1)\oplus(\mathbf{27},\mathbf3)\oplus(\overline{\mathbf{27}},\bar{\mathbf3})

또한, E6는 SO(10)을 부분군으로 가진다. 이 경우, E6딸림표현 78은 다음과 같이 분해된다.

\mathbf{78}\to\mathbf{45}\oplus\mathbf{16}\oplus\overline{\mathbf{16}}\oplus\mathbf1

이는 물리학의 대통일 이론에서 쓰인다.

참고 문헌[편집]