특수 유니터리 군

수학에서, 특수 유니터리 군(special unitary group)은 행렬식이 1인 유니터리 행렬의 리 군이다. 기호는 SU(n). 유니터리 군의 부분군 이다.

성질

특수 유니터리 군 SU(n) 은 n² - 1차원 리 군이다. 위상수학적으로, 이들은 컴팩트 공간이며 단일연결공간이다. 대수적으로, 이들은 단순 리 군이다. SU(n)은 n² 연산자에 의하여 생성되며, 다음과 같은 교환자 관계를 만족시킨다.

$\left [ \hat{O}_{ij} , \hat{O}_{kl} \right ] = \delta_{jk} \hat{O}_{il} - \delta_{il} \hat{O}_{kj}.$

또한, 다음과 같은 연산자

$\hat{N} = \sum_{i=1}^n \hat{O}_{ii}$

은 다음과 같은 교환자 관계를 만족시킨다.

$\left [ \hat{N}, \hat{O}_{ij} \right ] = 0$

특수한 경우

SU(1)

SU(1)은 자명한 군으로, 1을 원소로 가진다.

SU(2)

SU(2)는 다음과 같은 성질을 만족하는 행렬이다.

$SU (2) = \left \{ \begin{pmatrix} \alpha&-\overline{\beta}\\ \beta&\overline{\alpha} \end{pmatrix}: \ \ \alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\right \}$

SU(2)는 절댓값이 1인 사원수의 동형사상이며 준동형사상으로 SO(3)과 대응된다.

파울리 행렬

이 부분의 본문은 파울리 행렬입니다.

파울리 행렬은 다음과 같이 정의되며 SU(2)의 리대수의 발생원이다.

$\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}.$

이 행렬들은 유니타리 행렬이며 에르미트 행렬이다.

SU(3)

SU(3)의 발생원 T는 다음과 같이 정의된다.

$T_a = \frac{\lambda_a }{2}.\,$

$\lambda \,$는 겔만 행렬이며 SU(2) 군의 파울리 행렬과 대응된다.

$\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
$\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.$

이들은 대각합이 0인 에르미트 행렬이다. 이들의 교환자 연산은 다음과 같다.

$\left[T_a, T_b \right] = i \sum_{c=1}^8{f_{abc} T_c} \,$

f는 SU(3)의구조 상수이며 다음과 같이 정의된다.

$f_{123} = 1 \,$

$f_{147} = -f_{156} = f_{246} = f_{257} = f_{345} = -f_{367} = \frac{1}{2} \,$

$f_{458} = f_{678} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \,$

다른 $f_{abc}$는 a, b, c의 반교환 관계를 이용하여 구할 수 있다.

응용

SU(n)은 입자물리학 의 표준 모형에서 쓰인다. SU(2)는 약전자기력에, SU(3)은 양자 색역학에 쓰인다.