리 대수

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리 대수(Lie代數, 영어: Lie algebra)는 리 군의 국소적 구조를 나타내는 대수적 구조이다. 좀 더 엄밀히 말하면, 야코비 항등식을 만족하는 겹선형 반대칭 이항연산을 지닌 벡터공간이다. 통상적으로 리 대수는 흑자체 소문자 \mathfrak g,\mathfrak h 등으로 나타낸다.

정의[편집]

\mathbb F 위에 정의된 리 대수 (\mathfrak g,[\cdot, \cdot])벡터공간 \mathfrak g과 다음을 만족하는 이항연산 [\cdot,\cdot]:\mathfrak g\times\mathfrak g \to v로 이루어진다.

  • 겹선형성(영어: bilinearity): 모든 x, y, z \in \mathfrak ga, b \in\mathbb F에 대해 [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]이다.
  • 교대성(alternating): 모든 x\in \mathfrak g에 대하여 [x,x]=0이다.
  • 야코비 항등식: 모든 x , y, z \in \mathfrak g에 대해 [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0이다.

이 이항연산은 리 괄호(Lie bracket)로 불린다. 리 대수의 준동형사상은 리 괄호를 보존하는 선형변환이다.

만약 \mathbb F표수가 2가 아니라면, 교대성을 반대칭성, 즉 모든 x,y\in \mathfrak g에 대하여 [x,y]+[y,x]=0인 성질로 대체할 수 있다. (표수가 2인 체에서는 교대성이 반대칭성보다 더 강한 조건이다.)

부분 대수와 아이디얼[편집]

리 대수 \mathfrak g부분 리 대수(영어: Lie subalgebra) \mathfrak h는 리 괄호에 대하여 닫힌 선형부분공간이다. 즉, \mathfrak h\subset\mathfrak g이며 [\mathfrak h,\mathfrak h]\subset\mathfrak h이다.

리 대수 \mathfrak g아이디얼(ideal) I\subset\mathfrak g[\mathfrak g,I]\subset I를 만족하는 선형부분공간이다. 모든 아이디얼은 부분 리 대수다. 이는 군론정규부분군이나 환론아이디얼에 대응하는 개념으로, 마찬가지로 상(商, quotient) 리 대수 \mathfrak g/I를 정의할 수 있다. 모든 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

리 군과의 관계[편집]

실수복소수에서 정의한 리 대수는 실수 및 복소수 리 군의 국소적 구조를 나타낸다. 좀 더 엄밀히 말하면, 리 군의 범주에서 리 대수(와 그 준동형사상)의 범주로 가는 충실한 함자를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같다. 리 군 G가 주어지면, 1\in G 주위의 접공간 T_1G를 생각하자. 이 공간은 좌불변벡터장(left-invariant vector field)[1]의 공간과 v\mapsto(X_g=\mathcal L_{g^*}v)와 같은 사상에 의하여 동형이다. 좌불변벡터장은 리 괄호에 대하여 닫혀 있으므로, 좌불변벡터장의 집합은 리 대수를 이룬다. 보통 어떤 "리 군의 리 대수"는 이를 의미한다.

이 함자는 충실하나, (객체에 대하여) 전사적이지 않고, 단사적이지도 않다. 단사성은 리 대수가 국소적인 정보만을 담기 때문이다. 예를 들어 SO(3)과 SU(2)는 국소적으로 같으므로 (SU(2)는 SO(3)의 두겹덮개다) 같은 리 대수 \mathfrak{so}(3)\cong\mathfrak{su}(2)를 지닌다.

통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 \mathfrak{so}(5)이다.

구조론과 분류[편집]

우선 다음 성질을 정의하자.

  • 가환(可換, Abelian) 리 대수\mathfrak g는 임의의 x,y\in\mathfrak g에 대하여 [x,y]=0인 대수다.
  • 가해(可解, solvable) 리 대수 \mathfrak g는 다음을 만족한다. \mathfrak g_0=\mathfrak g이고, \mathfrak g_{k+1}=[\mathfrak g_k,\mathfrak g_k]로 정의하자. 그렇다면 \mathfrak g_k=0k\in\mathbb N이 존재한다.
  • 단순(單純, simple) 리 대수는 자신이나 0이 아닌 아이디얼을 가지지 않고, 가환하지 않는 리 대수다.
  • 반단순(半單純, semisimple) 리 대수는 0이 아닌 가환 아이디얼을 지니지 않는 리 대수다.

다음을 보일 수 있다.

  • 임의의 유한차원 실수 또는 복소 리 대수는 행렬로 충실히 표현할 수 있다 (아도 정리, Ado's theorem).
  • 임의의 유한차원 실수 리 대수는 가해 아이디얼과 반단순 부분 리 대수의 반직접곱으로 나타낼 수 있다 (E. E. Levi, 1905).
  • (실수 또는 복소) 콤팩트 리 군의 리 대수는 반단순 리 대수와 가환 리 대수의 합이다. (이를 간혹 콤팩트 리 대수라 부르기도 한다. 물론, 리 대수는 벡터공간이므로 위상수학적으로 절대 콤팩트 공간이 아니다.)
  • 모든 반단순 리 대수는 단순 리 대수의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

실수와 복소 단순 리 대수는 완전히 분류되었다. (아래를 참고하라.) 그러나 가해 리 대수의 분류는 매우 어렵다.

단순 리 대수의 분류[편집]

단순 리 대수는 유한 단순군과 마찬가지로 몇 개의 무한한 족(family)과 그 밖의 유한한 수의 예외적 리 대수로 분류한다. 그러나 유한단순군의 분류와는 달리 더 간단하며 고전적으로 증명할 수 있다.

모든 복소 단순 리 대수는 다음 가운데 하나와 동형이다.

  • \mathfrak a_k=\mathfrak{sl}(k+1,\mathbb C)=\mathfrak{su}(k+1)\otimes\mathbb C, k=1,2,\dots (복소 무대각합(無對角合, traceless) 행렬 대수)
  • \mathfrak b_k=\mathfrak{so}(2k+1,\mathbb C), k=2,3,\dots (홀수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
  • \mathfrak c_k=\mathfrak{sp}(2k,\mathbb C), k=2,3,\dots (복소 해밀턴 행렬(Hamiltonian matrix) 대수)
  • \mathfrak d_k=\mathfrak{so}(2k,\mathbb C), k=4,5,\dots (짝수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
  • 𝖊6, 𝖊7, 𝖊8
  • 𝖋4
  • 𝖌2

이 가운데, 처음 네 가지를 고전적(영어: classical), 나머지를 예외적(영어: exceptional)이라고 부른다. 여기서 아래 첨자는 근의 수를 나타낸다.

모든 실수 단순 리 대수는 복소화(영어: complexification) \mathfrak g\mapsto\mathfrak g\otimes\mathbb C를 통하여 복소 단순 리 대수와 대응한다. 이는 전사함수지만, 단사함수는 아니나, 그 원상(preimage)는 유한하다. 즉 각 단순 복소 단순 리 대수에 대하여 유한개의 실수 단순 리 대수가 대응하고, 모두 알려져 있다.

역사[편집]

소푸스 리리 군을 다루기 위하여 도입하였다. 헤르만 바일이 이를 "리 대수"라고 이름붙였다.

주석[편집]

  1. 임의의 g,h\in G에 대하여 \mathcal L_{g^*}X_h=X_{gh}를 만족하는 벡터장 X. 여기서 L_{g^*}L_g\colon h\to gh를 미분한 것이다.

참고 문헌[편집]

함께 보기[편집]