사원수 벡터 공간

선형대수학에서 사원수 벡터 공간(영어: quaternionic vector space)는 사원수 대수 $\mathbb {H}$ 위의 가군이다.

정의

사원수 벡터 공간은 환론에서의 가군의 개념으로 직접적으로 정의할 수도 있고, 대신 추가 구조를 갖춘 실수 또는 복소수 벡터 공간으로 정의할 수도 있다. 이 세 가지 정의는 서로 동치이다.

사원수 대수의 가군

사원수 대수 $\mathbb {H}$는 노름을 갖춘 나눗셈환이며, 따라서 그 위의 가군들은 모두 자유 가군이다. 또한, $\mathbb {H}$는 비가환환이지만 사원수 켤레 연산

${\bar {}}\colon \mathbb {H} \to \mathbb {H}$

${\bar {}}\colon a+ib+jc+kd\mapsto a-ib-jc-kd$

아래 스스로의 반대환과 표준적으로 동형이다.

$\mathbb {H} \cong \mathbb {H} ^{\operatorname {op} }$

따라서, $\mathbb {H}$ 위의 왼쪽 가군과 오른쪽 가군은 표준적으로 일대일 대응하며, 왼쪽 · 오른쪽 가군을 구별할 필요가 없다.

사원수 대수 $\mathbb {H}$ 위의 (자유) 가군을 사원수 벡터 공간이라고 한다.

복소수 벡터 공간 위의 사원수 구조

$2n$ 차원 복소수 벡터 공간 $V$ 위의 사원수 구조는 다음 조건을 만족시키는 $\mathbb {C}$-반선형 변환 $K\colon V\to V$이다.

$K^{2}=-1$

사원수 구조를 갖춘 $2n$ 차원 복소수 벡터 공간을 $n$ 차원의 사원수 벡터 공간이라고 한다.

실수 벡터 공간 위의 사원수 구조

$4n$ 차원 실수 벡터 공간 $V$ 위의 사원수 구조 $(I,J,K)$는 다음 조건을 만족시키는, 세 개의 $\mathbb {R}$-선형 변환

$I,J,K\colon V\to V$

로 구성된다.

$I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1$

즉, $(I,J,K)$는 $-1$을 보존하는 군 준동형

$\phi \colon Q\to \operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )$

$\phi \colon -1\mapsto -\operatorname {id} _{V}$

를 정의한다. 여기서 $Q$는 사원수군이다.

사원수 구조를 갖춘 $2n$ 차원 실수 벡터 공간을 $n$ 차원의 사원수 벡터 공간이라고 한다.

사원수 선형 변환

사원수 벡터 공간 $V$가 주어졌을 때, $V$ 위의 사원수 선형 변환 $T\colon V\to V$는 $\mathbb {H}$ 위의 가군으로서의 준동형이다. 이들은 사원수 일반 선형군 $\operatorname {GL} (V;\mathbb {H} )$를 이루며, $V$가 유한 차원일 경우 그 원소는 사원수 행렬들로 생각할 수 있다.

사원수 벡터 공간 위의 복소수 구조

$n$차원 복소수 벡터 공간 $V$ 위의 실수 구조는 $C^{2}=1$인 반선형 변환 $C\colon V\to V$에 의하여 주어진다. 이 경우 $C$는 각 성분의 복소수 켤레 연산에 해당한다. 마찬가지로, 사원수 벡터 공간 위의 복소수 구조(영어: complex structure)는 $C^{2}=1$인 반선형 변환으로서 주어진다.

예

복소수 벡터 공간 $V$가 주어졌을 때, $V\oplus {\bar {V}}$는 다음과 같은 자연스러운 사원수 구조를 가진다.^:§1.6.3

$J\colon (v_{1},{\bar {v}}_{2})\mapsto (-v_{2},{\bar {v}}_{1})$

이 함수가 $\mathbb {C}$-반선형이라는 것은 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다.

$J\left(z(v_{1},v_{2})\right)=J\left((zv_{1},{\overline {{\bar {z}}v_{2}}})\right)=(-{\bar {z}}v_{2},{\overline {zv_{1}}})={\bar {z}}(-v_{2},{\bar {v}}_{1})={\bar {z}}J\left((v_{1},v_{2})\right)$

이 경우, 나머지 두 복소수 구조는 구체적으로 다음과 같다.

$I\colon (v_{1},{\bar {v}}_{2})\mapsto (iv_{1},-{\overline {iv_{2}}})$

$K=IJ=\colon (v_{1},{\bar {v}}_{2})\mapsto (-iv_{2},-{\overline {iv_{1}}})$

그렇다면

$I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1$

임을 쉽게 확인할 수 있다.

참고 문헌

• Rodman, Leiba (2014). 《Topics in Quaternion Linear Algebra》. Princeton Series in Applied Mathematics (영어). Princeton University Press. ISBN 978-069116185-3. Zbl 1304.15004. 

외부 링크

• “Quaternionic structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Quaternionic structure”. 《nLab》 (영어).