가군

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추상대수학에서, 상의 가군(加群) 또는 모듈(module)은, 벡터공간의 개념을 확장한 것으로 볼 수 있다. 벡터공간과는 다르게, 가군에서는 스칼라가 임의의 환의 원소가 될 수 있다. 따라서 가군은 벡터공간과 마찬가지로 아벨 군의 구조를 갖는다. 이에 추가해 환의 원소와 가군의 원소 사이에 곱셈이 정의되며, 이 곱셈은 결합법칙분배법칙을 만족한다.

가군은 표현론(representation theory)과 밀접한 연관이 있다. 또한 가군은 가환대수학호몰로지 대수학의 주요 대상이며, 대수기하학대수적 위상수학에서 중요하게 사용되고 있다.

정의[편집]

R일 때, 아벨군 (M, +)와 연산 R \times M \rightarrow M이 주어질 때, 이 연산을 '스칼라 곱'이라 하고 R의 원소 rM의 원소 x의 연산 결과를 보통 rx로 쓴다. 이 구조에서 R의 임의의 원소 r, sM의 임의의 원소 x, y에 대해 다음의 네 조건이 언제나 성립하면 이를 R-좌가군(left R-module)이라 한다:

  1. r(x+y) = rx+ry (좌분배법칙)
  2. (r+s)x = rx+sx (우분배법칙)
  3. (rs)x = r(sx) (결합법칙)
  4. 1x = x (여기에서 1R의 곱셈에서 항등원이다.)

R-좌가군은 아벨 군과 스칼라 곱 연산으로 이루어진 구조이나, 많은 경우 M을 그 구조 전체와 동일시해서 R-좌가군이라 부르고, 이를 _R M으로 표기한다. R-우가군(right R-module) M_R은 스칼라 곱이 M \times R에서 M으로의 연산이므로 곱하는 방향을 제외하면 좌가군과 똑같은 방법으로 정의한다.

환의 정의에 단위원의 존재 조건을 포함시키지 않는 저자들은 위의 정의에서도 조건 4를 생략하고, 우리가 위에서 정의한 구조를 '좌단위가군'이라 부른다. 그러나 이 글에서는 모든 환은 단위원을 가지며 모든 가군은 조건 4를 만족시키는 것으로 한다.

좌가군인 동시에 우가군이고, 왼쪽과 오른쪽에서 행해지는 연산이 서로 어울릴 경우 이를 양쪽가군이라 한다.

R가환환일 때는 좌가군과 우가군은 아무 차이가 없으므로, 좌우 구분을 생략하고 그냥 단순히 R-가군이라고 한다.

표현론[편집]

함수 f_r : M \rightarrow Mf_r (x) = rx라고 하면 위의 조건 1에 의하여 M에서 M 자신으로의 군 준동형사상이 되고, f : R \rightarrow End(M)f(r)=f_r라고 하면, 나머지 세 조건에 의해 환 준동형사상이 된다. 여기에서 End(M)M자기준동형환이다. 따라서 가군은 아벨 군에 환이 작용하는 것으로 볼 수 있으며, 이런 의미에서 보면 가군론은 군이 벡터공간에 작용하는 경우를 다루는 표현론을 일반화한 것이다.

[편집]

  • 임의의 환 R은 스스로의 가군이다.
  • 자명군 \{0\}은 임의의 환의 가군을 이룬다. 이를 자명 가군(영어: trivial module)이라고 한다.

함께 보기[편집]

참고자료[편집]

  • F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992, ISBN 0-387-97845-3, ISBN 3-540-97845-3