소 아이디얼

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환론에서, 소 아이디얼(素ideal, 영어: prime ideal)은 아이디얼 가운데 소수와 같은 성질을 갖는 것들이다. 가환환의 소 아이디얼은 대수기하학에서 아핀 스킴의 부분다양체에 대응하며, 아핀 스킴의 위상 공간의 한 점을 이룬다.

정의[편집]

R의 양쪽 진 아이디얼 \mathfrak p\subsetneq R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 소 아이디얼이라고 한다.

  • 임의의 두 양쪽 아이디얼 \mathfrak a,\mathfrak b\subseteq R에 대하여, 만약 \mathfrak a\mathfrak b\subseteq\mathfrak p라면 \mathfrak a\subseteq\mathfrak p이거나 \mathfrak b\subseteq\mathfrak p이다.[1]:155, Definition 10.1
  • 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 (r)(s)\subseteq\mathfrak p라면 r\in\mathfrak p이거나 s\in\mathfrak p이다.[1]:155, Proposition 10.2
  • 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 rRs\subseteq\mathfrak p라면 r\in\mathfrak p이거나 s\in\mathfrak p이다.[1]:155, Proposition 10.2
  • 임의의 오른쪽 아이디얼 \mathfrak A,\mathfrak B\subseteq R에 대하여, 만약 \mathfrak A\mathfrak B\subseteq\mathfrak p라면 \mathfrak A\subseteq\mathfrak p이거나 \mathfrak B\subseteq\mathfrak p이다.[1]:155, Proposition 10.2
  • 임의의 왼쪽 아이디얼 \mathfrak A,\mathfrak B\subseteq R에 대하여, 만약 \mathfrak A\mathfrak B\subseteq\mathfrak p라면 \mathfrak A\subseteq\mathfrak p이거나 \mathfrak B\subseteq\mathfrak p이다.[1]:155, Proposition 10.2
  • 임의의 r,s\in R\setminus\mathfrak p에 대하여, rts\in R\setminus\mathfrak pt\in R가 존재한다.[1]:156, Corollary 10.4
  • 몫환 R/\mathfrak a소환이다.[1]:158

R의 양쪽 진 아이디얼 \mathfrak p\subsetneq R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 완전 소 아이디얼(完全素ideal, 영어: completely prime ideal)이라고 한다.

  • 임의의 r,s\in R에 대하여, 만약 rs\in\mathfrak p라면 r\in\mathfrak p이거나 s\in\mathfrak p이다.
  • 몫환 R/\mathfrak p영역이다.[1]:194
  • R\setminus\mathfrak p는 곱셈에 대하여 모노이드를 이룬다.

성질[편집]

일반적인 환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아이디얼 ⊇ 소 아이디얼 ⊇ 완전 소 아이디얼 ∪ 극대 아이디얼

그러나 완전 소 아이디얼과 극대 아이디얼 사이에는 포함 관계가 존재하지 않는다.

임의의 환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.
  • 소환이다.

임의의 환 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 영 아이디얼이 완전 소 아이디얼이다.
  • 영역이다.

(극대 아이디얼의 경우 마찬가지로 단순환에 대응한다.)

자명환이 아닌 환은 초른의 보조정리에 따라 항상 하나 이상의 소 아이디얼을 갖는다 (특히, 하나 이상의 극대 아이디얼을 갖는다). 주어진 환 R의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합은 항상 하나 이상의 극소 원소들을 가지며, 또한 임의의 소 아이디얼 \mathfrak p에 대하여, \mathfrak p에 포함되는 극소 소 아이디얼이 존재한다.

가환환의 소 아이디얼[편집]

가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아이디얼근기 아이디얼으뜸 아이디얼근기 아이디얼으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 = 완전 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼

가환환 R의 진 아이디얼 \mathfrak p\subsetneq R에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • \mathfrak p는 소 아이디얼이다.
  • \mathfrak p는 완전 소 아이디얼이다.
  • R/\mathfrak p정역이다.

가환환 R의 소 아이디얼 \mathfrak p의 여집합 R\setminus\mathfrak p가 모노이드를 이루므로, R\setminus\mathfrak p에 대하여 국소화를 취할 수 있다. 이 경우 (R\setminus\mathfrak p)^{-1}R국소환을 이룬다.

가환환의 준동형 f\colon R\to SS의 소 아이디얼 \mathfrak p에 대하여, f^{-1}(\mathfrak p)R의 소 아이디얼이다. (이는 비가환환의 경우 일반적으로 성립하지 않는다.)

가환환의 소 아이디얼의 이러한 성질들은 대수기하학에서 매우 중요한 역할을 한다. 이러한 이유 때문에, 환의 스펙트럼은 더 기하학적으로 자연스러운 극대 아이디얼 대신 소 아이디얼을 사용한다.

  • 소 아이디얼의 준동형에 대한 원상이 소 아이디얼이므로, 이는 가환환의 범주에서 집합의 범주(또는 다른 구체적 범주)로 가는 반변 함자를 이룬다. 다시 말해, 환 준동형은 아핀 스킴 사이의 함수를 정의한다.
  • 소 아이디얼의 여집합은 모노이드를 이루므로, 소 아이디얼에서 국소화를 취할 수 있으며, 이렇게 하여 얻은 환은 국소환이다. 즉, 환의 구조는 소 아이디얼에 대하여 국소적이다.

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정수환 \mathbb Z의 소 아이디얼들은 소수일대일 대응한다. 구체적으로, 소수 pp배수들로 구성된 아이디얼 p\mathbb Z=\{np\colon n\in\mathbb Z\}\subset\mathbb Z와 대응한다. 이런 의미에서 소 아이디얼은 소수의 일반화라고 볼 수 있다. 수론에서 소수 p가 두 정수의 곱 ab를 나누면 pab 둘 중 하나를 나눈다는 것은 잘 알려진 사실이다. 이 경우, \mathfrak p\ne R이라는 첫 조건은 1을 소수로 치지 않는다는 사실과 같다.

역사[편집]

역사적으로, 아이디얼의 개념은 수체대수적 정수환이 일반적으로 유일 인수 분해 정역이 아니라는 발견에서 비롯되었다. 수체대수적 정수환은 항상 데데킨트 정역이므로 아이디얼에 대해서는 유일 인수 분해가 성립하며, 이 경우 아이디얼의 소인수 분해에서 대응하는 "소수"는 소 아이디얼이다.

비가환환에서의 소 아이디얼의 정의는 볼프강 크룰이 1928년에 제시하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. Lam, Tsi-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. 
  2. Krull, Wolfgang (1928). “Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen” (독일어). 《Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften》 7: 3-14. JFM 54.0156.01. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]