소 아이디얼

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수학에서 소 아이디얼(素ideal, 영어: prime ideal)은 의 특수한 부분집합으로, 여러 가지 면에서 정수환소수들과 비슷한 성질을 갖고 있다. 가환환의 경우 소 아이디얼들은 여러 가지 단순하면서도 중요한 성질을 많이 갖고 있으므로, 아래에서 이 경우를 따로 자세히 다룬다.

가환환의 소 아이디얼[편집]

가환환 R아이디얼 \mathfrak p\subset R가 다음 조건을 만족하면 '소 아이디얼'이라고 한다.

  • \mathfrak p\ne R이다.
  • 만약 ab\in\mathfrak p라면 a\in\mathfrak p이거나 b\in\mathfrak p이다.

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수론에서, 정수환 \mathbb Z의 소 아이디얼들은 소수일대일 대응한다. 구체적으로, 소수 pp배수들로 구성된 아이디얼 p\mathbb Z=\{np\colon n\in\mathbb Z\}\subset\mathbb Z와 대응한다. 이런 의미에서 소 아이디얼은 소수의 일반화라고 볼 수 있다. 수론에서 소수 p가 두 정수의 곱 ab를 나누면 pab 둘 중 하나를 나눈다는 것은 잘 알려진 사실이다. 이 경우, \mathfrak p\ne R이라는 첫 조건은 1을 소수로 치지 않는다는 사실과 같다.

바깥 고리[편집]

  • (영어) Zhevlakov, K.A. (2001). Prime ideal. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer.