정수

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수학의 수 체계
기초
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$ 복소수 {$\mathbb{R}(\mathrm{i})$} 허수 순허수 $\mathbb{R}$ 실수 {$\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \sqrt2, \pi$} $\mathbb{I}$ 무리수 {$\sqrt3, \sqrt 5, \pi,...$} $\mathbb{Q}$ 유리수 {2/3, -4/7,...} $\mathbb{Z}$ 정수 {...,-1,0,1,...} $\mathbb{N}$ 자연수 {1,2,3...} 1 $\mathbb{P}$ 소수 {2,3,5,7,...} 합성수 작도 가능한 수 대수적 수 초월수 초한수 계산 가능한 수
복소수의 확장
이원수 다원수 사원수 팔원수 십육원수 상초실수 초실수 초현실수
기타
명목수 서수 size, position {n} 기수 $\{ \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots \}$ p진수 정수열 반정수 {...,-1.5,-0.5,0.5,1.5,...} 수학 상수 $i$ 허수 단위 $= \sqrt{-1}$ $\pi$ 원주율 ≈ 3.14159 26535 ... $e$ 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( $\notin \mathbb{Q}$) $\infty$ 무한대
주요 상수
π - e - √2 - √3 - γ - φ - β* - δ - α - C2 - M1 - B2 - B4 - Λ - K - K - K - B´L - μ - EB - Ω - β - λ - D(1) - λμ - Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L - Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. - Niv. - Sie. - Kin. - F - L

정수(整數, 문화어: 옹근수)는 자연수(1, 2, 3, ...)와 이들의 음수(-1, -2, -3, ...), 그리고 0으로 이루어진 수 체계를 말한다. 정수 전체의 집합은 보통 Z 또는 칠판 볼드체 $\mathbb{Z}$로 표기하며, 이런 표기는 독일어에서 수를 뜻하는 Zahlen이란 단어에서 온 것이다. 정수는 자연수와 마찬가지로 가산 무한 집합이며, 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있다. 수론의 주요 연구대상이다.

정수의 정렬성

양의 정수 전체의 집합 N의 공집합이 아닌 부분집합은 최소원을 가진다.

이러한 정수의 정렬성을 이용하여 아래와 같은 자연수의 정렬성도 설명이 가능하다.

정수 체계의 존재

$0$을 포함한 덧셈과 곱셈을 가진 자연수 체계를 이용하여 덧셈과 곱셈을 가진 정수체계가 존재함을 보이자. $0$을 포함한 자연수 집합 $\mathbb{N}_0$의 카테션 곱 $\mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0$에 동치관계 $\sim$를 $(m,n)\sim (p,q) \leftrightarrow m+q=n+p$라 정의하자. 그러면 이 동치관계를 이용한 상집합(quotient set)을 $\mathbb{Z}$라 하고 $(m,n)$의 동치류를 $[m,n]$으로 표시할 때, $[m,n]+[p,q]=[m+p,n+q]$, $[m,n]\cdot[p,q]=[mp+nq,mq+np]$라 정의하면 정수 체계구성된다.

이러한 구성 방법은 일반적으로 준군에서 군으로 체계를 확장할 때 생기는 그로센딕 군의 한 형태이다.

자연수의 정렬성

자연수의 정렬성(Well-ordering property)의 경우, 자연수의 집합 P의 부분집합 S에 대하여 두 조건

1. 1은 자연수의 원소이다.
2. n이 S의 원소이면 n+1도 S의 원소이다.

이 두 가지가 성립하면 S=P이다.

대수적 특성

자연수 집합과 마찬가지로, 정수 집합은 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있다. 하지만 자연수 집합과 다르게, 뺄셈에도 닫혀 있다. 나눗셈에는 닫혀 있지 않다.

	덧셈	곱셈
닫힘:	a + b  은 정수	a × b  은 정수
결합법칙:	a + (b + c)  =  (a + b) + c	a × (b × c)  =  (a × b) × c
교환법칙:	a + b  =  b + a	a × b  =  b × a
항등원:	a + 0  =  a	a × 1  =  a
역원:	a + (−a)  =  0
분배법칙:	(a × b) + (a × c)=a × (b + c)