그로텐디크 군

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추상대수학에서, 그로텐디크 군(Grothendieck group)은 가환 반군으로 정의할 수 있는 아벨 군이다. 알렉산더 그로텐디크K-이론을 다루기 위하여 정의하였다.

정의[편집]

(M,+)가 가환 모노이드라고 하자. 그렇다면 M\times M에 다음과 같은 동치관계를 정의하자.

(m,n)\sim(m+p,n+p). (m,n,p\in M)

이에 따라, G=(M\times M)/\sim에 다음과 같은 아벨 군 구조가 존재한다.

(m,n)+(m',n')=(m+m',n+n')
0_G=(m,m)
-(m,n)=(n,m).

아벨 군 G를 반군 M에 대한 그로텐디크 군이라고 한다.

그로텐디크 군 연산은 함자 \operatorname{AbMon}\to\operatorname{Ab} (아벨 모노이드에서 아벨 군으로 가는 함자)를 이룬다. 이는 망각함자(forgetful functor) \operatorname{Ab}\to\operatorname{AbMon}에 대한 좌수반함자이다.

[편집]

자연수(음이 아닌 정수)의 집합은 덧셈에 대하여 가환 모노이드 (\mathbb N,+)를 이룬다. 이에 대하여 정의한 그로텐디크 군은 정수아벨 군 (\mathbb Z,+)이다.

자연수의 집합은 곱셈에 대하여 가환 모노이드 (\mathbb N,\times)를 이룬다. 이에 대하여 정의한 그로텐디크 군은 양의 유리수아벨 군 (\mathbb Q^+,\times)이다.

정수의 집합은 곱셈에 대하여 가환 반군 (\mathbb Z,\times)을 이룬다. 이에 대하여 정의한 그로텐디크 군은 자명군이다. 이는 m/n\sim m\cdot0/n\cdot0\sim0/0이기 때문이다.