범주 (수학)

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범주론에서, 범주(範疇, 영어: category)는 추상적인 구조와 이를 보존하는 변환의 개념을 형식화한 것이다. 범주는 현대 수학의 거의 모든 분야에 나타나며, 여러 분야를 한데 묶는 개념으로서 작용한다.

정의[편집]

범주 \mathcal C는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 대상(對象, 영어: object)들의 모임 \operatorname{ob}(\mathcal C). 이 모임의 원소를 \mathcal C의 대상이라고 한다.
  • 임의의 두 대상 a,b\in\operatorname{ob}(\mathcal C)에 대하여, a정의역으로, b공역으로 하는 사상(寫像, 영어: morphism)들의 모임 \hom(a,b). f\in\hom(a,b)에 대하여 f\colon a\to b로 쓰고, "f는 a에서 b로의 사상이다"라고 한다.
  • 임의의 세 대상 a, b, c에 대해, 이항연산 \hom(a,b)\times\hom(b,c)\to\hom(a,c). 이는 '사상의 합성'이라고 불린다. f: a → b와 g: b → c의 합성은 g\circ f 또는 gf 등으로 나타낸다.
  • 각 대상 a\in\operatorname{ob}(\mathcal C)에 대하여, 특별한 사상 \operatorname{id}_a\in\hom(a,a). 이는 a항등사상(영어: identity morphism)이라고 한다.

이 데이터는 다음의 조건들을 만족시켜야 한다.

  • (결합법칙) 임의의 대상 a,b,c,d\in\operatorname{ob}(\mathcal C) 및 사상 a\xrightarrow fb\xrightarrow gc\xrightarrow hd에 대하여, h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f
  • (항등원) 임의의 대상 a,b\in\operatorname{ob}(\mathcal C) 및 사상 f\colon a\to b에 대하여, \operatorname{id}_b\circ f=f\circ\operatorname{id}_a=f

작은 범주[편집]

작은 범주는 ob(C)와 hom(C)가 둘 다 집합인 경우, 즉 진모임이 아닌 경우를 말한다. 작은 범주가 아닌 범주를 큰 범주라고 한다. 임의의 대상 a와 b에 대해 사상모임 hom(a,b)가 집합인 범주를 국소적으로 작은 범주라고 하며, 이 경우 사상모임을 사상집합(hom-set)이라고 한다.. 집합의 범주를 비롯해 수학에서 중요하게 쓰이는 대부분의 범주는 (비록 작은 범주는 아닐 수 있으나) 국소적으로 작다.

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각 범주는 대상이 무엇인지, 사상이 무엇인지, 그리고 사상들이 어떻게 합성되는지에 의해 결정된다.

  • Set은 집합들을 대상으로 하는 범주로, 사상은 집합 사이의 함수이며, 그들 사이의 합성은 일반적인 함수의 합성으로 정의된다. (아래는 Set에 추가적인 구조를 준 뒤, 사상들이 그 구조를 보존하도록 제한하여 만들어지는 범주들이다. 이런 범주를 구체적 범주라고 한다.)
  • Cat은 작은 범주들을 대상으로 갖는 범주로, 사상은 함자이다.
  • Rel은 집합들을 대상으로 하는 범주로, 사상은 관계이다.
  • 임의의 원순서집합 (P, ≤)에 대해, P의 각 원소를 대상으로 놓고 x ≤ y일 때 x에서 y로의 사상이 있는 것으로 하면 이는 작은 범주가 된다.
  • 임의의 범주 C에 대해, 대상은 그대로 놓고 모든 사상의 방향을 반대로 바꾸면 C의 쌍대 범주 Cop가 된다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]