하우스도르프 공간

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위상 공간의 분리 공리
T0 콜모고로프 공간
T1  
T2 하우스도르프 공간
T 우리손 공간
완전 T 완비 하우스도르프 공간
T3 정칙 하우스도르프 공간
T 티호노프 공간
T4 정규 하우스도르프 공간
T5 완비 정규 하우스도르프 공간
T6 완전 정규 하우스도르프 공간

일반위상수학에서, 하우스도르프 공간(영어: Hausdorff space) 또는 T2 공간 또는 분리된 공간(separated space)은 서로 다른 점들을 각각 서로소 근방들로 둘러쌀 수 있는 위상 공간이다.

정의[편집]

하우스도르프 공간의 정의. 서로 다른 두 점 x,y를 서로소 열린 근방 U,V로 구분할 수 있다.

위상 공간 X에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 하우스도르프 공간이라고 한다.

  • 임의의 x,y\in X에 대하여, 만약 x\ne y라면 x\in U, y\in V서로소 열린 근방 U,V\subset X가 존재한다.[1]:98
  • 임의의 두 콤팩트 집합 C,D\subseteq X에 대하여, 만약 CD가 서로소라면, C\subset U, D\subset V서로소 열린 근방 U,V\subset X가 존재한다.[2]:124
  • 임의의 그물 x_\alpha 및 점 y_1,y_2\in X에 대하여, 만약 x_\alpha\to y_1이며 x_\alpha\to y_2라면 y_1=y_2이다.[2]:86–87
  • 임의의 필터 \mathcal F 및 점 y_1,y_2\in X에 대하여, 만약 \mathcal F\to y_1이며 \mathcal F\to y_2라면 y_1=y_2이다.[2]:86–87
  • 임의의 x\in X에 대하여, x의 모든 닫힌 근방들의 교집합은 \{x\}이다.
  • 곱공간 X\times X의 대각 부분 집합 \Delta(X)=\{(x,x)\colon x\in X\}\subseteq X\times X닫힌집합이다.

성질[편집]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

우리손 공간(T) ⊊ 하우스도르프 공간(T2) ⊊ T1 공간차분한 공간

콤팩트 공간의 콤팩트 부분 집합은 항상 닫힌집합이다.

하우스도르프 공간들의 집합의 곱공간은 하우스도르프 공간이다. 하우스도르프 공간의 부분 공간은 하우스도르프 공간이다. 그러나 하우스도르프 공간의 몫공간은 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.

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우리손 공간이 아닌 하우스도르프 공간[편집]

양의 정수의 집합 \mathbb Z^+에, 다음과 같은 기저를 주자.

\left\{(a+\mathbb Zb)\cap\mathbb Z^+\colon\gcd(a,b)=1\right\}

이는 양의 정수의 서로소 위상(영어: relatively prime topology)이라고 한다. 이는 하우스도르프 공간이지만 우리손 공간이 아니다.[3]

하우스도르프 공간이 아닌, 모든 수렴 수열이 유일한 극한을 갖는 공간[편집]

하우스도르프 공간은 모든 그물 또는 필터가 유일한 극한을 갖는 공간이다. 만약 그물/필터를 수열로 약화시킨다면, 모든 수열이 유일한 극한을 갖지만 하우스도르프 공간이 아닌 공간이 존재한다.[4]

하우스도르프 공간이 아닌 차분한 T1 공간[편집]

실수선 \mathbb R에 새로운 점 \bullet을 추가하고, 여기에 다음과 같은 위상을 주자.

  • \mathbb R의 위상에서 열린집합 U\mathbb R\sqcup\{\bullet\}에서도 열린집합이다.
  • S\subset\mathbb R유한 집합이라면, (\mathbb R\setminus S)\sqcup\{\bullet\}은 열린집합이다.

그렇다면 \mathbb R\sqcup\{\bullet\}T1 공간이며 차분한 공간이지만 하우스도르프 공간이 아니다.

역사[편집]

하우스도르프 조건은 펠릭스 하우스도르프가 1914년에 위상 공간의 개념을 최초로 정의할 때 포함했던 조건이다.[5] 이후 위상 공간의 정의는 하우스도르프의 조건을 포함하지 않게 되었고, 하우스도르프의 원래 정의를 추가로 만족시키는 공간은 "하우스도르프 공간"으로 불리게 되었다.

참고 문헌[편집]

  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
  2. Willard, Stephen (2004). 《General Topology》. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6. 
  3. Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001. 
  4. van Douwen, Eric K. (1993). “An anti-Hausdorff Fréchet space in which convergent sequences have unique limits” (영어). 《Topology and its Applications》 51 (2): 147–158. doi:10.1016/0166-8641(93)90147-6. 
  5. Hausdorff, F. (1914). 《Grundzüge der Mengenlehre》 (독일어). 라이프치히: von Veit. JFM 45.0123.01. Zbl 1175.01034. 

바깥 고리[편집]