몫공간

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몫공간(quotient space, -空間)은 위상공간 중 특정한 성질을 만족하는 공간이다. 구체적으로 다음과 같이 정의한다.[1]

  • X를 위상공간, T(X)를 X의 분할이라 하자. 전사이고 X의 각 점 a에 대해 a∈A∈T(X)인 A가 p(a) = A를 만족하는 함수 p:X → T(X)를 잡으면, p에 의해 유도되는 몫위상에 대해 T(X)를 X의 몫공간이라 한다.

몫위상과 몫사상[편집]

이상의 정의에서 함수 p에 의해 유도되는 몫위상(quotient topology, -位相)은 다음과 같이 정의한다.[2]

  • X가 위상공간, A가 집합이며 p:X → A가 전사 함수라고 하자. 그러면 p가 몫사상이 되는 위상이 A 상에서 유일하게 결정되는데, 이를 p에 의해 유도되는 몫위상이라 한다.

또한, 여기서 몫사상(quotient map, -寫像)은 다음과 같이 정의한다.[3]

  • X와 Y가 위상공간, 함수 p:X → Y가 전사 함수라 하자. Y의 임의의 부분집합 U에 대해 U가 열린 집합필요충분조건p^{-1}(U) 가 X에서 열린 집합인 것일 때, p를 몫사상이라 한다.

정의에 의해 몫위상이 주어진 공간으로 가는 몫사상 p는 연속이고, 이때 몫위상은 p를 연속함수로 만드는 위상 중 가장 강한 위상이 된다.

연관 개념[편집]

이와 연관된 개념으로, 포화 부분공간(saturated subspace, 飽和 部分空間)이라는 것이 있다. 다음과 같이 정의한다.[3]

  • 위상공간 X, Y와 X에서 Y로의 전사 함수 p가 주어졌다고 하자. 이때 X의 부분공간 C가 p에 대한 X의 포화 부분공간일 필요충분조건은 C가 Y의 어떤 부분집합의 완비 역상(complete inverse image)일 것, 즉 p(C)에 속하는 어떤 원소 y에 대해서도 p^{-1}({y}) ∈ C를 만족하는 것이다.

이 개념을 이용해서 몫사상의 개념을 다음과 같이 간결하게 서술할 수 있다.[3]

  • X와 Y가 위상공간, 함수 p:X → Y가 전사 함수라 하자. p가 몫사상일 필요충분조건은 연속이고 X의 열린 p에 대한 포화 부분집합의 상이 열린 집합일 것이다.

성질[편집]

  • 위상공간 X, Y에 대해 p:X → Y가 몫사상이라 하자. A가 p에 대한 X의 포화 부분집합일 때, p의 정의역을 제한하여 얻어지는 함수 q:A → p(A)에 대하여 다음 성질이 성립한다.[4]
  • 위상공간 X, Y에 대해 p:X → Y가 몫사상이라 하자. 이때 위상공간 Z에 대해 q:X → Z가 Y의 임의의 원소 y에 대해 p^{-1}({y}) 안의 모든 원소에 대해 일정한 값을 갖는 함수라면, f \circ p = q를 만족하는 함수 f:Y → Z가 존재한다.[5]
    • 또한, 이 f가 연속일 필요충분조건은 q가 연속인 것이며, f가 몫사상일 필요충분조건은 q가 몫사상인 것이다.
QuotientSpace-01.png

주석[편집]

  1. James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall, p.139.
  2. Ibid., p.138.
  3. Ibid., p.137.
  4. Ibid., p.140.
  5. Ibid., p.142.

참고 문헌[편집]

  • James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall.