국소 콤팩트 공간

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국소 콤팩트 공간(Locally compact space, 局所 콤팩트 空間)은 위상공간으로서, 콤팩트 공간국소화시킨 형태이다. 일반적으로 다음과 같이 정의한다.[1]

  • 국소 콤팩트 공간은 모든 점에서 국소 콤팩트한 공간이다.

어떤 위상공간 X에 대해 점 x에서 국소 콤팩트하다는 것은 다음과 같이 정의한다.[1]

  • x에 적당한 콤팩트 근방이 존재한다.

성질[편집]

  • 콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이다.[1]
  • 국소 콤팩트 린델뢰프 공간반컴팩트 공간이다.
  • (알렉산드로프 한 점 콤팩트화) 임의의 콤팩트가 아닌 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 한 점을 추가하여 콤팩트한 하우스도르프 공간으로 만들 수 있다. 이를 알렉산드로프 콤팩트화라고 한다. 즉, X가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간일 때 X의 초공간인 콤팩트 하우스도르프 공간 Y와 어떤 y∈Y가 존재하여 Y - X = {y}을 만족한다. 실제로 X의 한 점 콤팩트화인 Y가 하우스도르프일 필요충분조건은 X가 국소 콤팩트 하우스도르프인 것이다. 이때 X는 Y의 조밀 부분공간이 된다.(이는 임의 한 점 콤팩트화의 성질이다)[2]
  • 실수보통위상공간은 국소 콤팩트 공간이다. 나아가 자연수 n에 대해 R^n 역시 국소 콤팩트 공간이다. 그러나 R^{\omega} 은 국소 콤팩트 공간이 아니다.[1]
  • X를 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라 하자. 그러면, X의 부분공간 A가 X에서 닫혀 있거나 열려 있다면 A도 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.[3]
  • X가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간일 필요충분조건은 적당한 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분공간과 X가 위상동형인 것이다.[3]
  • G를 국소 콤팩트 위상군, H를 G의 부분군이라 할 때 G/H는 국소 콤팩트이다.[4]
  • 위상공간 X, Y에 대해 X가 국소 콤팩트이고, 전사이고 연속열린 함수 f:X→Y가 존재하면 Y도 국소 콤팩트이다.
  • 임의의 첨수집합 I에 대해 위상공간들의 곱공간 \prod_{i \in I} X_i 이 국소 콤팩트 공간이면 모든 X_i 도 국소 콤팩트 공간이고, 특히 유한 개를 제외한 나머지는 콤팩트 공간이 된다.

주석[편집]

  1. James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall, p.182.
  2. Ibid., p. 183.
  3. Ibid., p.185.
  4. Ibid., p.186.

참고 문헌[편집]

  • James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall.