초구

기하학에서, 초구(超球, 영어: hypersphere)는 2차원 곡면인 구를 임의의 차원으로 일반화한 공간이다. n차원 초구의 기호는 $S^n$ 또는 $\mathbb S^n$. 이는 $n+1$차원 유클리드 공간에서, 원점에서 일정한 거리에 있는 점들의 부분공간이다.

예

0차원 초구 $S^0$은 두 점으로 이루어진 위상공간이다. 1차원 초구는 원이다. 2차원 초구는 일반적인 구다.

3차원 이상의 초구는 호프 올뭉치에 등장한다.

겉넓이와 부피

반지름이 r인 n차원 초구의 초부피는

$V_n={\pi^\frac{n}{2}\over \frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} R^n ={C_n R^n}$

이다. 여기서 $\Gamma$는 감마함수다.

예를 들어, 4차원 구의 초부피는 ${\pi^2 r^4} \over {2}$이고, 초겉넓이는 ${2\pi^2 r^3}$이다.