드람 코호몰로지

드람 코호몰로지(영어: de Rham cohomology)는 다양체의 미분형식에 대하여 존재하는 코호몰로지로서, 외미분의 제곱이 0인 사실에서 기인한다. 대수적 위상수학과 미분 위상수학에서 다루며, 미분형식을 써서 미분다양체의 위상수학적인 성질들을 효과적으로 표현할 수 있고, 계산에도 효율적이어서 미분다양체를 다루는 기본적 도구 가운데 하나다.

정의

주어진 미분다양체 $M$ 위에 존재하는 매끈한 $k$-미분 형식이 이루는 벡터 공간 $\Omega^k (M)$을 생각하자. 이들 사이에는 외미분 $d$에 따른 선형사상

$d_k: \Omega^k (M) \to \Omega^{k+1} (M)$

이 존재한다. 외미분은 $d^2 = 0$을 만족하므로, $\Omega^k(M)$과 $d$는 공사슬 복합체(cochain complex)를 이룬다. 이는 드람 복합체라고 부른다. 즉

$H_\text{dR}^k(M)=\ker d_k/\operatorname{im} d_{k-1}$

이다.

다른 형식의 외미분인 형식을 완전 형식(exact form)이라고 부르며, 외미분이 0인 형식을 닫힌 형식(closed form)이라고 부른다. 따라서 드람 복합체 $H^k(M)$은 닫힌 $k$-형식의 공간에서 완전 $(k-1)$-형식의 외미분을 더하는 것에 대한 동치류를 취한 상공간이다.

간단한 예로, 다양체 $M$이 $n$개의 연결 성분(connected component)를 지니면, 다음과 같이 계산할 수 있다.

$H^0 _{dR}(M)=\mathbb{R}^n$

즉, 다양체 $M$위에서 정의된 매끈한 함수의 기울기(gradient)가 0이면, 그 함수는 각각의 연결 성분에서 상수 함수다.

관련 코호몰로지

다양체 $M$ 안의 k-특이 사슬(k-단체[simplex]의 일차결합) $C$위에 k-형식 $\omega$를 적분할 수 있다. 즉 $\textstyle\int_C\omega$가 정의 가능하다. 이는 스토크스 정리에 따라 드람 코호몰로지 $H^k_\text{dR}(M)$에서 특이 코호몰로지 $H^k(M;\mathbb R)$으로 가는 사슬 사상을 정의할 수 있다. 드람 정리에 따라 이는 사실 사슬 동형사상이다. 이는 조르주 드람(프랑스어: Georges de Rham)이 1931년에 증명하였다.

다양체가 컴팩트하고 리만 구조를 지닌 경우에는 호지 이론(영어: Hodge theory)에 따라 조화미분형식의 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우 호지 정리(Hodge theorem)에 따라 드람 코호몰로지와 조화 코호몰로지는 동형이다.

또한, 드람 코호몰로지는 (적절히 정의한) 체흐 코호몰로지(Čech cohomology)나 알렉산더-스패니어 코호몰로지(Alexander–Spanier cohomology)와 동형이다.

복소 다양체의 경우에는 드람 코호몰로지와 유사한 돌보 코호몰로지(영어: Dolbeault cohomology)를 정의할 수 있다. 돌보 코호몰로지에도 스토크스 정리와 유사한 정리가 성립한다. 켈러 다양체의 경우 돌보 코호몰로지와 드람 코호몰로지는 동형이다.

드람 코호몰로지의 계산

항상 그런 것은 아니지만, 경우에 따라서는 어떤 다양체의 드람 코호몰로지 군을, 몇가지 기본적인 다양체의 드람 코호몰로지 군에 대하 정보와 몇가지 기초적인 정리들, 예를 들면 마이어-비에토리스 수열(Mayer-Vietoris sequence)등을 사용하여 계산할 수 있을 때도 있다. 또 한 가지 드람 코호몰로지 군에 대해서 유용한 사실 한 가지는 이것이 호모토피 불변량이라는 사실이다. 몇 가지 기본적인 공간들의 드람 코호몰로지 군의 예를 보자.

n-구체

n-차원 구체의 코호몰로지 군은 $H_{dR}^{k}(S^n) \simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n \end{cases}$ 이다. 한편, 드람 코호몰로지 군은 호모토피 불변량이므로, 따라서 사실은 $I$가 임의의 선분일 때에, $H_{dR}^{k}(S^n \times I^m) \simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n \end{cases}$ 도 성립한다.

n-원환면

$n$차원 원환면의 드람 코호몰로지는 다음과 같다.

$H_{dR}^{k}(T^n) \simeq \mathbb{R}^{n \choose k}$

구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간

구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간은, $\mathbb{R}^n - \{0\}$를 말한다. 이때에,

$H_{dR}^{k}(\mathbb{R}^n - \{0\})$	$\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n-1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n-1 \end{cases}$
	$\simeq H_{dR}^{k}(S^{n-1})$

뫼비우스의 띠

뫼비우스의 띠 $M$은 호모토픽하게는 1-구체라는 것에서 계산이 바로 된다:

$H_{dR}^{k}(M) \simeq H_{dR}^{k}(S^1)$

참고 문헌

• 조용승 (1999년 4월). 《다양체의 미분위상수학》. 서울: 아르케. ISBN 89-88791-11-8
• (영어) Ivancevic, Vladimir G., Tijana T. Ivancevic (2008년). Undergraduate lecture notes in De Rham–Hodge theory. arXiv:0807.4991. Bibcode: 2008arXiv0807.4991I.

바깥 고리

• (영어) Eric Wolfgang Weisstein. De Rham cohomology. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.