위상수학

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위상수학(位相數學, 영어: topology)은 연결성이나 연속성 등, 작은 변환에 의존하지 않는 기하학적 성질들을 다루는 수학의 분야이다.

대상과 분야[편집]

일반위상수학[편집]

일반위상수학에서는 일반적인 위상 공간의 개념 및 이 위에 정의할 수 있는 여러 성질들의 관계를 다룬다. 일반위상수학에서 다루는 개념으로는 열린 집합, 닫힌 집합, 연속성, 수렴, 극한, 콤팩트성, 연결성, 위상동형 등이 있다.

일반위상수학의 주요 정리로는 다음을 들 수 있다.

대수적 위상수학[편집]

대수적 위상수학에서는 위상 공간의 구조를 이에 연관된 준군 등의 구조로서 연구한다. 대수적 위상수학의 주요 개념은 기본군, 호모토피, 호모토피 군, 호몰로지, 코호몰로지 등이 있다.

매듭 이론[편집]

매듭 이론에서는 한 공간을 다른 공간에 매장하는 방법을 연구한다. 특히, 원의 3차원 유클리드 공간으로의 매장은 매듭이라고 하며, 매듭 이론의 주요 연구 대상이다.

기하학적 위상수학[편집]

기하학적 위상수학에서는 다양체의 위상수학적 성질을 다룬다. 다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 닮은 위상 공간으로서, 일반적인 위상 공간보다 더 다양한 성질들을 갖는다. 다양체의 위상수학은 차원에 따라 현저히 다른 성질을 보인다. 1·2차원 다양체는 자명하고, 5차원 이상의 다양체 역시 하나의 공통된 이론이 존재하나, 3차원 및 4차원 다양체는 매우 복잡한 성질을 보인다.

미분위상수학[편집]

위상공간의 한 종류인 다앙체에는 미분기하학을 정의할 수 있는 구조인 미분 가능 구조를 줄 수 있다. 이러한 구조를 갖춘 다양체의 경우, 일반 위상 공간을 넘어서 미분 구조 자체의 여러 위상수학적 성질들이 존재한다. 이러한 성질을 보존하는 위상동형사상미분동형사상이라고 하며, 미분위상수학은 미분동형사상에 대하여 불변인 미분 가능 다양체의 성질을 연구한다.

응용[편집]

위상수학은 집합론과 더불어 다른 수학 분야의 기초를 이룬다. 특히, 복소해석학 등의 분야는 위상수학적인 성질이 강하다. 자연과학에서는 연속성의 파괴를 다루는 분기이론 · 파국이론 · 혼돈이론 등이 응용된다. 또한, 이론물리학에서 위상수학은 솔리톤이나 순간자, 자기 홀극 등의 분류에 사용된다.

역사 및 명칭[편집]

위상수학은 19세기 말에 앙리 푸앵카레에 의하여 "아날리시스 시투스"(라틴어: analysis situs, 위치해석학)이라는 이름으로 시작되었다. 한국어에는 초기에 위상기하학(位相幾何學)이라는 이름도 많이 사용되었다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]