위상수학

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위상수학(位相數學)은 20세기에 들어오며 공간의 위치관계, 가까움을 다루기 위하여 만들어진 수학 분야이다.

위상수학은 맨 처음 앙리 푸앵카레에 의하여 Analysis Situs(위치의 해석)이라는 이름으로 시작되었으며 한국어에는 초기에 위상기하학(位相幾何學)이라는 이름도 많이 사용되었다.

위상수학은 20세기에 만들어진 고도로 추상화된 수학이며 현대수학은 거의 모두 위상수학의 바탕 위에 형성되었다고 말할 수 있다. 위상수학의 가장 기본적인 개념들로는 열린 집합, 닫힌 집합, 연속성(continuity), 수렴, 극한, 콤팩트성, 연결성, 위상동형, 기본군, 호모토피, 호몰로지,코호몰로지, 다발, 층(層), 다양체 등이 있으며, 이 개념들은 분화되어 매우 복잡한 여러 가지 개념들로 발전된다.

위상수학의 대상은 위상(열린집합의 개념)이 정의된 모든 공간이 되지만, 대부분의 경우에는 자연스럽게 이러한 개념이 주어지는 거리공간 또는 이보다 조금 약화된 개념의 공간들을 대상으로 한다. 그리고 모든 개념과 응용의 바탕에는 연속성의 개념과 연속적인 변화에 대하여 변하지 않는 불변량인 위상불변량이 깔려 있다. 이러한 불변량의 대표적인 예로서 기본군, 호모토피군, 호몰로지군 등을 들 수 있으며 20세기 말에 들어 미분구조의 불변량과 같은 개념이 발견되었고 연구의 중심으로 부각되었다.

위상수학의 기본적인 활용은 연속성의 이해에서 가능하여지며, 이는 쉬운 말로 "input을 조금만 변화시키면, output도 조금만 변화한다"는 성질을 갖는 함수(input과 output 관계)를 이해하는 것이다. 자연현상이나 우리의 생활 주변에서 우리는 항상 이러한 상황을 가정하고 생활한다. 즉, 힘을 조금만 주면 물체가 조금만 움직인다거나, 전기를 조금만 더 흘리면 빛이 조금만 더 밝아진다거나 하는 모든 현상은 연속적인 현상들이며 이는 사람들이 기본적으로 가정하고 있는 상황이다. 이러한 점에서 바라 볼 때, 이러한 연속성이 깨지는 (불연속인) 현상은 매우 큰 관심의 대상이 되며 자연과학의 연구의 대상으로 떠오른다. 20세기 중반을 넘어서며 자연현상에서 이러한 연속성이 깨지는 대상을 연구하게 된 대표적인 예로 분기이론, 파국이론혼돈이론 등이 있다.

위상수학의 주요 정리[편집]