비표준 해석학

비표준 해석학(非標準解析學, 영어: nonstandard analysis)은 초실수와 그 위의 함수에 대하여 연구하는 해석학의 한 분야이다.

정의

$\mathbb {R}$이 실수체이고, $\mathbb {N}$이 자연수의 모노이드이라고 하자. 그렇다면 $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$은 실수들의 수열들의 집합이다. 초실수의 체 ${}^{*}\mathbb {R}$는 $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$의 적절한 몫으로 정의된다. 주필터가 아닌 임의의 극대 필터 ${\mathcal {F}}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$를 고르자. (특히, ${\mathcal {F}}$는 프레셰 필터(여유한 집합들의 필터)를 포함한다.) 이러한 극대 필터는 선택 공리에 따라 항상 존재하지만, 직접 적을 수는 없다. 이 극대 필터를 사용하여, 두 수열 $u,v\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ 사이에 다음과 같은 동치 관계를 줄 수 있다.

$u\sim v\iff \{n\in \mathbb {N} \colon u_{n}=v_{n}\}\in {\mathcal {F}}$

이 동치관계에 대한 몫은 곱셈에 대하여 체를 이루며, 이를 초실수의 체로 정의한다.

${}^{*}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/{\mathcal {F}}$

실해석학의 구현

실해석학에서 극한을 통해 구현되는 표준적인 여러 연산들은 초실수를 사용하여 대수적으로 정의할 수 있다.

극한과 미분

함수 ${}^{*}f\colon \mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} ^{*}$의 $a\in \mathbb {R} ^{*}$에서의 극한은 다음과 같다.

$\lim _{x\to a}{}^{*}f(x)=L\iff \forall b\approx a\colon f(b)\approx L\qquad (L\in \mathbb {R} )$

함수 ${}^{*}f\colon {}^{*}\mathbb {R} \to {}^{*}\mathbb {R}$가 다음 조건을 만족시키면, 연속함수라고 한다.

• 모든 $x,y\in \mathbb {R} ^{*}$에 대하여, 만약 $x\approx y$라면 $f(x)\approx f(y)$이다.

함수 ${}^{*}f\colon {}^{*}\mathbb {R} \to {}^{*}\mathbb {R}$ 및 $x\in \mathbb {R}$에 대하여, 다음이 성립한다고 하자. 임의의 0이 아닌 두 무한소 $\epsilon _{1},\epsilon _{2}\in {}^{*}\mathbb {R}$에 대하여,

${\frac {{}^{*}f(x+\epsilon _{1})-f(x)}{\epsilon _{1}}}\approx {\frac {{}^{*}f(x+\epsilon _{2})-f(x)}{\epsilon _{2}}}$

이 경우 ${}^{*}f$는 $x\in \mathbb {R}$에서 미분 가능하다고 하고, $f$의 도함수는

${}^{*}f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {{}^{*}f(x+\epsilon )-{}^{*}f(x)}{\epsilon }}\right)\in \mathbb {R}$

이다.

1차 논리로 정의할 수 있는 실함수 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$에 대하여, 이에 대응하는 비표준 확대

${}^{*}f\colon {}^{\mathbb {R} }\to {}^{*}\mathbb {R}$

에 대하여, 다음이 동치이다.

• $\lim _{x\to a}f(x)=b$
• $\lim _{x\to a}{}^{*}f(x)=b$

또한, 다음이 동치이다.

• $a\in \mathbb {R}$에서 $f$는 연속함수이다.
• $a\in \mathbb {R}$에서 ${}^{*}f$는 연속함수이다.

또한, 다음이 동치이다.

• $a\in \mathbb {R}$에서 $f$는 미분 가능하며, $f'(a)=b$이다.
• $a\in \mathbb {R}$에서 ${}^{*}f$는 미분 가능하며, $f'(a)=b$이다.

적분

초실수 체계에서, 리만 적분은 a, a + dx, a + 2dx, ... a + ndx 등으로 나누어지는 무한소의 격자들의 합으로 정의된다. 여기서 dx는 무한소이며, n은 무한의 초정수이며, 적분 구간의 하한 a 와 상한 b = a + n dx인 관계를 따른다.

예

함수 $f(x)=x^{2}$의 도함수는 비표준적으로 다음과 같이 계산할 수 있다. $dx\in {}^{*}\mathbb {R}$가 임의의 무한소라고 하자. 그렇다면 임의의 $x\in \mathbb {R}$에 대하여 다음과 같다.

$f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {(x+dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)=\operatorname {st} (2x+dx)=2x$

같이 보기

• 초실수

외부 링크

• “Non-standard analysis”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.