초실수

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초실수선은 실수선보다 더 조밀하다. 실수선 위의 각 점은 이에 무한히 가까운 무한한 수의 초실수들에 대응한다. 반대로, 표준 부분 함수는 유한 초실수를 가장 가까운 실수로 대응시킨다.
수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수 단위 = \sqrt{-1}
\pi 원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( \notin \mathbb{Q})

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - L - μ - EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

비표준해석학에서, 초실수(超實數, 영어: hyperreal)는 무한대무한소를 포함하지만 실수에 대한 모든 1차 논리 명제가 그대로 성립하는 수 체계이다.

정의[편집]

실수 \mathbb R의 수열 \mathbb R^{\mathbb N}가환환을 생각하자. 이는 크룰 정리에 따라 극대 아이디얼 \mathfrak u\subset\mathbb R^{\mathbb N}을 가진다. (크룰 정리는 선택 공리동치이다.) 그 몫환 \mathbb R^{\mathbb N}/\mathfrak u={}^*\mathbb R를 이루는데, 이를 초실수체(超實數體, 영어: hyperreal field)라고 하고, 그 원소를 초실수라고 한다. 각 실수를 상수열의 동치류로 대응시키면, 실수체는 다음과 같이 초실수체로 표준적으로 매장된다.

r\in\mathbb R\mapsto[(r,r,r,\dots)]\in{}^*\mathbb R

이러한 극대 아이디얼 \mathfrak u는 자유 초필터 \mathcal U\subset\mathcal P(\mathbb N)에 의하여 주어진다. 즉,

(s_i)_{i\in\mathbb N}\in\mathfrak u\iff\{i\in\mathbb N\colon s_i=0\}\in\mathcal U

이다. 이 경우, {}^*\mathbb R 위에 다음과 같은 이항 관계를 정의할 수 있다.

[s]\le[t]\iff\{i\in\mathbb N\colon s_i\le t_i\}\in\mathcal U

이는 전순서를 이룬다는 것을 보일 수 있다. 따라서 초실수체는 실수체를 확대하는 순서체이다.

초실수체는 선택하는 자유 초필터에 따라 달라진다. 만약 연속체 가설을 가정한다면, 모든 초실수체는 순서체로서 서로 동형임을 보일 수 있다. 반면, 연속체 가설을 부정한다면 서로 동형이지 않는 초실수체가 존재한다.

실수 집합의 확대[편집]

실수 집합 S\subset\mathbb R가 주어졌다고 하자. 그렇다면, S초실수 확대(영어: hyperreal extension) ^*S는 다음과 같다.

{}^*S=\left\{[s]\in{}^*\mathbb R\colon\{i\in\mathbb N\colon s_i\in S\}\in\mathcal U\right\}

자연수 집합 \mathbb N\subset\mathbb R의 초실수 확대를 초자연수(超自然數, 영어: hypernatural)라고 한다. 정수 집합 \mathbb Z\subset\mathbb R의 초실수 확대를 초정수(超整體, 영어: hyperinteger)라고 한다. 초정수의 집합은 초실수체의 부분환을 이룬다. 유한 초정수는 정수이며, 모든 비표준 초정수는 무한 초실수이다.

성질[편집]

2^{\aleph_0}=|\mathbb R|\le|^*\mathbb R|\le|\mathbb R|^{|\mathbb N}=(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}

이므로, 초실수 집합의 크기는 실수 집합의 크기와 같다.

|{}^*\mathbb R|=2^{\aleph_0}=|\mathbb R|

전달 원리에 따라, 1차 논리로 기술할 수 있는 실수의 성질은 초실수에 대해서도 성립한다.

초실수체는 실수체와 달리 아르키메데스 체가 아니다. 이는 아르키메데스 성질을 1차 논리로 기술할 수 없기 때문이다.

전달 원리[편집]

\phi가 기호 +,-,\times,{}^{-1},\le\forall x_i\in\mathbb R, \exists x_i\in\mathbb R를 사용하는 1차 논리 명제라고 하자. 그렇다면, 이 명제에서 모든 변수를 실수 대신 초실수로 바꾼 1차 논리 명제 \phi^*를 정의할 수 있다. 그렇다면 다음이 성립한다.

  • \phi\phi^*는 서로 동치이다. 즉, \phi가 참이라면 \phi^* 역시 참이며, 반면 \phi가 거짓이라면 \phi^* 역시 거짓이다.

이를 전달 원리(영어: transfer principle)라고 한다.

전달 원리는 고차 논리에서는 성립하지 않는다. 예를 들어,

\exists\omega\forall n\in\mathbb N\colon\overbrace{1+1+\cdots+1}^n\le\omega

와 같은 명제는 \mathbb R에서 거짓이지만 \mathbb R^*에서는 참이다. 그러나 이 명제는 1차 논리 명제로 쓸 수 없다.

위상수학적 성질[편집]

초실수의 전순서집합순서 위상을 부여하여 위상공간으로 만들 수 있다. 순서 위상의 성질에 따라, 초실수 공간은 완비 정규 하우스도르프 공간 (즉, T5 공간)이다.

초실수의 위상공간은 연결공간이 아니며, 완전분리공간이다. 초실수 공간은 국소 콤팩트하지 않으며, 분해가능 공간이 아니며, 제1가산공간이 아니다. 따라서, 초실수 공간은 거리공간화할 수 없다.

분류[편집]

초실수 가운데 실수가 아닌 것을 비표준 초실수(영어: nonstandard hyperreal)라고 한다.

무한대 초실수(영어: infinite hyperreal)는 다음을 만족시키는 초실수 r^*이다.

\forall r\in\mathbb R\colon r<|r^*|

무한소 초실수(영어: infinitesimal hyperreal)는 무한대 초실수의 역수이다. 즉, 다음을 만족시키는, 0이 아닌 실수 r^*이다.

\forall r\in\mathbb R\colon r<1/|r^*|

무한대가 아닌 초실수를 유한 초실수(영어: finite hyperreal)라고 한다. 유한 초실수의 집합 {}^*\mathbb F\subset{}^*\mathbb R값매김환을 이루며, 유한 초실수환의 유일한 극대 아이디얼은 무한소 초실수의 유사환 \mathfrak i\subset{}^*\mathbb F이다. 이에 대한 몫환실수체와 표준적으로 동형이다.

{}^*\mathbb F/\mathfrak i\cong\mathbb R

즉, 모든 유한 초실수 {}^*r는 실수 r와 무한소 초실수 \epsilon의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다. 여기서 r{}^*r표준 부분이라고 하며, \operatorname{st}({}^*r)라고 쓴다.

초실수에 대하여, 다음과 같은 자연스러운 동치 관계가 존재한다.

a\approx b\iff\operatorname{st}(a)=\operatorname{st}(b)

이에 대한 동치류를 모나드(영어: monad)라고 한다.

[편집]

실수 r는 상수열의 동치류 [(r,r,r,\dots)] 로 대응된다.

초실수

\omega=[(0,1,2,3,4,\dots)]

의 동치류는 무한대 초자연수이다. 그 역수

\omega^{-1}=[(1,1,1/2,1/3,1/4,\dots)]

는 무한소 초실수이다.

역사[편집]

초실수(hyperreal)라는 용어는 1948년에 에드윈 휴잇(영어: Edwin Hewitt)이 최초로 사용하였다.[1][2] 표준 부분은 에이브러햄 로빈슨이 처음 정의하였고, 로빈슨은 초실수 x에 대하여 {}^{\circ}x라는 표기법을 사용하였다. 비표준해석학에서는 이 개념이 미적분학에서 미분적분 등의 개념을 정립하는데 중요한 역할을 한다. 나중에 이 개념이 엄격히 형식화되어 무한소 이론으로 발전한다. 초실수를 사용하여, 피에르 드 페르마의 직관적인 아다이콸리타스(라틴어: adaequalitas, "거의 같음") 개념을 "같은 표준 부분을 갖는 두 초실수"로 형식화할 수 있다.[3]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Hewitt, Edwin (1948년). Rings of real-valued continuous functions I. 《Transactions of the American Mathematical Society》 64: 45–99. doi:10.1090/S0002-9947-1948-0026239-9. MR0026239. Zbl 0032.28603. ISSN 0002-9947.
  2. (영어) Keisler, H. Jerome (1994년). 〈The hyperreal line〉, Philip Ehrlich: 《Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua》, Synthèse Library 242. Kluwer, 207–237쪽. doi:10.1007/978-94-015-8248-3_8. MR1340464. Zbl 0964.03535. ISBN 978-90-481-4362-7
  3. Karin Usadi Katz and Mikhail G. Katz (2011) A Burgessian Critique of Nominalistic Tendencies in Contemporary Mathematics and its Historiography. Foundations of Science. doi:10.1007/s10699-011-9223-1 [1] arxiv.

바깥 고리[편집]