이원수 (수학)

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수 단위 = \sqrt{-1}
\pi 원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( \notin \mathbb{Q})

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - L - μ - EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

이원수(二元數, 영어: dual number)는 실수에 하나의 멱영원을 추가하여 얻는 가환환이다. 복소수와 마찬가지로 2차원 \mathbb R-대수를 이루지만, 복소수와는 달리 를 이루지 못한다.

정의[편집]

이원수는 실수에 \epsilon^2=0인 수 \epsilon을 추가하여 얻는다. 엄밀히 말하자면, 이원수의 집합은 \mathbb R\times\mathbb R로 여길 수 있다. 이 경우, (a,b)\in\mathbb R^2a+b\epsilon으로 쓰자. 이 집합에 다음과 같은 덧셈과 덧셈의 역, 곱셈을 정의할 수 있다.

(a+b\epsilon)+(c+d\epsilon)=(a+c)+(b+d)\epsilon
-(a+b\epsilon)=(-a)+(-b)\epsilon
(a+b\epsilon)(c+d\epsilon)=ac+(bc+ad)\epsilon

이 연산들에 따라서, 이원수의 집합은 가환환을 이룬다.

선형대수학적 표현[편집]

이원수 a+b\epsilon는 2×2 행렬환 \operatorname{Mat}(2;\mathbb R)의 부분환으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

a+b\epsilon=\begin{pmatrix}
a&b\\0&b
\end{pmatrix}

가환대수학적 표현[편집]

이원수의 환은 다항식환 \mathbb R[x]몫환 \mathbb R[x]/(x^2)으로 정의할 수 있다. 여기서 (x^2)x^2\in\mathbb R[x]로 생성되는 주 아이디얼이다. 이 경우, a+b\epsilona+bx에 대응된다.

성질[편집]

이원수의 집합은 (곱셈 항등원을 갖는) 가환환을 이루지만, 멱영원 \epsilon이 존재하므로 정역을 이루지 않는다. 이원수환은 국소환을 이루며, 유일한 극대 아이디얼주 아이디얼 (\epsilon)이다.

이원수환에서 가역원a\ne0a+b\epsilon이며, 그 역은 다음과 같다.

(a+b\epsilon)^{-1}=1/a+(b/a^2)\epsilon

이원수는 2차원 가환 결합 \mathbb R-대수를 이룬다.

응용[편집]

이원수는 물리학에서 초대칭을 다룰 때 사용된다. 이원수의 공간은 초공간의 가장 간단한 예이며, \epsilon반가환수가 된다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]