팔원수

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수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수 단위 = \sqrt{-1}
\pi 원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( \notin \mathbb{Q})

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - L - μ - EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

팔원수(八元數, 영어: octonion 옥토니언[*]) 또는 케일리 수(Cayley number)는 유일한 8차원 비가환 비결합 노름 나눔대수이다.[1]

정의[편집]

팔원수는 일반적으로

a + b_i x^i

의 꼴로 나타낼 수 있으며, 7개의 숫자x^i (i=1,\dots,7)는 다음과 같은 성질을 만족한다

x^i x^j = - \delta_{ij} + f_{ijk} x^k

여기에서 f^{ijk}ijk=123, 247, 451, 562, 634, 375, 716인 경우 1이며, 다른 모든 경우 0이다.

성질[편집]

나눔대수(division algebra)에 의하면 다음과 같이 곱이 노름을 보존하는

|a||b| = |a b|

을 보존시키는 대수 중 가장 조건이 완화된 수가 팔원수이다. 팔원수는 결합법칙을 만족하지 않기 때문에, 복소수로 이루어진 행렬로 나타낼 수 없다.

팔원수의 집합 \mathbb O를 곱셈 연산 \mathbb O\times\mathbb O\to\mathbb O가 갖추어진 8차원 실수 벡터공간으로 간주하여, 곱셈을 보존하는 자기동형사상군 \operatorname{Aut}(\mathbb O)을 생각할 수 있다. 이는 단순 리 군 G2의 컴팩트 형식과 같다.

역사[편집]

존 토머스 그레이브스(John Thomas Graves)가 팔원수를 "옥타브"(octave)라는 이름으로 1843년 크리스마스 경에 발견하였지만, 윌리엄 로언 해밀턴에게 서편으로 거론했을 뿐 발표하지 않았다. 아서 케일리가 1845년 독립적으로 팔원수를 발견하여 발표하였다.[2] 이 논문은 타원함수에 대한 내용이었는데, 거의 모두가 틀린 내용이었지만 맨 끝에 부록으로 적은 팔원수에 대한 내용만은 옳았다.[1] 이를 보고 그레이브스는 같은 저널 다음 호에 부랴부랴 자신의 팔원수에 대한 논문을 수록시켰지만,[3] 팔원수는 "케일리 수"라는 이름으로 알려지게 되었다.

참고 문헌[편집]

  1. Baez, John (2002년). The octonions. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 39 (2): 145–205. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. arXiv:163596851. Bibcode2001math......5155B. MR1886087. 오류 정정 Baez, John (2005년). Errata for "The octonions". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 42 (2): 213–213. doi:10.1090/S0273-0979-05-01052-9.
  2. Cayley, Arthur (1845년). XXVIII. On Jacobi's Elliptic functions, in reply to the Rev. Brice Bronwin; and on Quaternions. To the editors of the Philosophical Magazine and Journal. 《Philosophical Magazine (Series 3)》 26 (172): 208–211. doi:10.1080/14786444508645107. 재판 Cayley, Arthur (2009년). 〈21. On Jacobi's Elliptic Functions, in reply to the Rev. B. Bronwin: and on Quaternions〉, 《The Collected Mathematical Papers, Volume 1》. Cambridge: Cambridge University Press, 127–127쪽. doi:10.1017/CBO9780511703676.022. ISBN 9781108004930
  3. Graves, John T. (1845년). XLVI. On a connection between the general theory of normal couples and the theory of complete quadratic functions of two variables. 《Philosophical Magazine (Series 3)》 26 (173): 315–320. doi:10.1080/14786444508645136.