팔원수

수학의 수 체계
기초
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$ 복소수 {$\mathbb{R}(\mathrm{i})$} 허수 순허수 $\mathbb{R}$ 실수 {$\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \sqrt2, \pi$} $\mathbb{I}$ 무리수 {$\sqrt3, \sqrt 5, \pi,...$} $\mathbb{Q}$ 유리수 {2/3, -4/7,...} $\mathbb{Z}$ 정수 {...,-1,0,1,...} $\mathbb{N}$ 자연수 {1,2,3...} 1 $\mathbb{P}$ 소수 {2,3,5,7,...} 합성수 작도 가능한 수 대수적 수 초월수 초한수 계산 가능한 수
복소수의 확장
이원수 다원수 사원수 팔원수 십육원수 상초실수 초실수 초현실수
기타
명목수 서수 size, position {n} 기수 $\{ \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots \}$ p진수 정수열 반정수 {...,-1.5,-0.5,0.5,1.5,...} 수학 상수 $i$ 허수 단위 $= \sqrt{-1}$ $\pi$ 원주율 ≈ 3.14159 26535 ... $e$ 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( $\notin \mathbb{Q}$) $\infty$ 무한대
주요 상수
π - e - √2 - √3 - γ - φ - β* - δ - α - C2 - M1 - B2 - B4 - Λ - K - K - K - B´L - μ - EB - Ω - β - λ - D(1) - λμ - Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L - Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. - Niv. - Sie. - Kin. - F - L

팔원수(八元數, 영어: octonion 옥토니언^[*]) 또는 케일리 수(Cayley number)는 유일한 8차원 비가환 비결합 노름 나눔대수이다.

정의

팔원수는 일반적으로

$a + b_i x^i$

의 꼴로 나타낼 수 있으며, 7개의 숫자$x^i$ ($i=1,\dots,7$)는 다음과 같은 성질을 만족한다

$x^i x^j = - \delta_{ij} + f_{ijk} x^k$

여기에서 $f^{ijk}$는 ijk=123, 247, 451, 562, 634, 375, 716인 경우 1이며, 다른 모든 경우 0이다.

성질

나눔대수(division algebra)에 의하면 다음과 같이 곱이 노름을 보존하는

$|a||b| = |a b|$

을 보존시키는 대수 중 가장 조건이 완화된 수가 팔원수이다. 팔원수는 결합법칙을 만족하지 않기 때문에, 복소수로 이루어진 행렬로 나타낼 수 없다.

팔원수의 집합 $\mathbb O$를 곱셈 연산 $\mathbb O\times\mathbb O\to\mathbb O$가 갖추어진 8차원 실수 벡터공간으로 간주하여, 곱셈을 보존하는 자기동형사상군 $\operatorname{Aut}(\mathbb O)$을 생각할 수 있다. 이는 단순 리 군 G₂의 컴팩트 형식과 같다.

역사

존 토머스 그레이브스(John Thomas Graves)가 팔원수를 "옥타브"(octave)라는 이름으로 1843년 크리스마스 경에 발견하였지만, 윌리엄 로원 해밀턴에게 서편으로 거론했을 뿐 발표하지 않았다. 아서 케일리가 1845년 독립적으로 팔원수를 발견하여 발표하였다. 이 논문은 타원함수에 대한 내용이었는데, 거의 모두가 틀린 내용이었지만 맨 끝에 부록으로 적은 팔원수에 대한 내용만은 옳았다. 이를 보고 그레이브스는 같은 저널 다음 호에 부랴부랴 자신의 팔원수에 대한 논문을 수록시켰지만, 팔원수는 "케일리 수"라는 이름으로 알려지게 되었다.

참고 문헌

• (영어) Okubo, Susumu (1995년 8월). 《Introduction to Octonion and Other Non-Associative Algebras in Physics》, Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics 2, Cambridge University Press. MR1356224. Zbl 0841.17001. ISBN 978-0521472159