G₂

G₂는 가장 작은 예외적 단순 복소 리 군이다. 14차원이고, 두 개의 단순근을 지니고, 두 개의 실수 형식(컴팩트, 갈린)을 지닌다. 7차원 표현을 지닌다. 그 컴팩트 실수 형식은 팔원수의 자기동형사상군이다.

근

G₂의 근계.

G₂는 근은 2차원 벡터로 쓸 수 있지만, 3차원 벡터로 쓰는 것이 더 편하다. 이 경우, 근은 다음과 같다.

(1,−1,0), (−1,1,0) (1,0,−1), (−1,0,1) (0,1,−1), (0,−1,1)

(2,−1,−1), (−2,1,1) (1,−2,1), (−1,2,−1) (1,1,−2), (−1,−1,2)

이 가운데 단순근은 여러가지로 잡을 수 있다. 한 가지 방법은 다음과 같다.

(0,1,−1), (1,−2,1)

Graph of G2 as a subgroup of F4 and E8 projected into the Coxeter plane

그 바일(Weyl) 군은 정이면체군 D₆이다. 그 카르탕 행렬은 다음과 같다.

$\left [ \begin{matrix} \;\,\, 2&-3\\ -1&\;\,\, 2 \end{matrix}\right ]$

팔원수와의 관계

팔원수 대수 𝕆의 자기동형사상은 다음을 만족하는 ℝ-선형사상 φ:𝕆→𝕆를 말한다.

$\phi(a)\phi(b)=\phi(ab)$

팔원수 자기동형사상군 Aut(𝕆)는 G₂의 컴팩트 실수 형식과 동형이라는 사실을 보일 수 있다. 이로부터, (φ(1)=1이고, 팔원수 노름을 보존하므로) G₂의 컴팩트 형식은 SO(7)의 부분군임을 알 수 있고, 이에 따라 7차원 기본표현이 존재함을 알 수 있다.

G₂는 리만 다양체의 홀로노미의 분류에 등장한다. 즉, G₂를 홀로노미 군으로 가지는, 대칭공간이 아닌 7차원 리만 다양체가 존대한다. 이는 위와 같이 G₂가 SO(7)의 부분군인 사실과 관련이 있다.

표현

G₂의 기약표현의 차원은 다음과 같다 (OEIS의 수열 A104599).

1, 7, 14, 27, 64, 77 (두 개), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (두 개), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (두 개), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090….

참고 문헌

• Yokota, Ichiro (2009년 2월). Exceptional Lie groups. arXiv:0902.0431. Bibcode: 2009arXiv0902.0431Y.
• (영어) Adams, John Frank (1996년 12월). 《Lectures on exceptional Lie groups》, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press. MR1428422. ISBN 978-0-226-00526-3
• (영어) Baez, John C., John Huerta. G₂ and the rolling ball. arXiv:1205.2447. Bibcode: 2012arXiv1205.2447B.
• (영어) DeVito, Jason (2008년 12월 8일). Everything you wanted to know about G₂ and a lot you didn’t.