케일리-딕슨 구성

추상대수학에서 케일리-딕슨 구성(Cayley-Dickson構成, 영어: Cayley–Dickson construction)은 어떤 환 위의 대수에 대하여, 차원이 두 배인 대수를 만드는 한 방법이다.^{:160–164, §Ⅱ.2.5} 이 경우, 원래 대수의 일부 성질들이 확장된 대수에서도 성립한다.

정의

가환환 $K$가 주어졌다고 하자.

그 위의 *-대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $K$-가군 $A$
• $K$-가군 준동형 $\star \colon A\otimes _{K}A\to A$. (이는 결합 법칙이나 교환 법칙을 따르지 않을 수 있다.)
• $K$-가군 준동형 $(-)^{*}\colon A\to A$. 이는 다음 두 조건을 만족시킨다.
  • $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}\qquad \forall x,y\in A$
  • $x^{**}=x\qquad \forall x\in A$

또한, $K$의 가역원 $\mu \in \operatorname {Unit} (K)$이 주어졌다고 하자.

그렇다면, $K$-가군의 직합 $A\oplus A$ 위에 다음과 같은 $K$-대수 구조 및 대합을 줄 수 있다.

$(x,y)(x',y')=(xx'-\mu y'^{*}y,y'x+yx'^{*})$

$(x,y)^{*}=(x^{*},-y)$

즉, 새 원소 $i=(0,1)$를 추가하며, $(a,b)=a+bi$로 쓰면, 모든 $a,b,c\in A$에 대하여 다음과 같은 대수 관계를 준다.

$ai=ia^{*}$

$a(bi)=(ba)i$

$(ai)b=(ab^{*})i$

$(ai)(bi)=\mu b^{*}a$

$i^{*}=-i$

그렇다면 이는 *-대수 $\operatorname {CD} (A)$를 이룬다. 또한, 이에 따라 표준적인 단사 *-대수 준동형 $A\to \operatorname {CD} (A)$가 주어진다.

케일리-딕슨 구성에서 추가되는 원소를 $i\mapsto \alpha i$와 같이 재정의할 경우, $\mu \mapsto \mu /\alpha ^{2}$가 된다. 즉, 케일리-딕슨 구성은 제곱 유군의 원소 $[\mu ]\in \operatorname {Unit} (K)/\operatorname {Unit} (K)^{2}$에 의하여 분류된다. 특히, 이차 폐체의 경우, 케일리-딕슨 구성의 각 단계는 유일하다.

성질

유사환 $R$ 위의 대합 대수 $A$ 및 그 케일리-딕슨 대수 $\operatorname {CD} (A)$에 대하여, $A$가 다음 조건을 만족시킨다면, $\operatorname {CD} (A)$는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

$A$의 성질	$\operatorname {CD} (A)$의 성질
단위원 $1_{A}\in A$을 갖는다	단위원 $1_{A}+0i$를 갖는다
*-조건이 성립	*-조건이 성립
교환 법칙이 성립하며, $^{*}$는 항등 함수	교환 법칙이 성립
교환 법칙·결합 법칙이 성립	결합 법칙이 성립
결합 법칙이 성립하며, *-조건이 성립	교대 대수

여기서 $*$-조건은 다음과 같다.

• 모든 $a,b,c$에 대하여, $0=[a+a^{*},b]=[aa^{*},b]=(a+a^{*},b,c)=(aa^{*},b,c)=(b,a+a^{*},c)=(b,aa^{*},c)=(b,c,a+a^{*})=(b,c,aa^{*})$

여기서

$[a,b]=ab-ba$

$(a,b,c)=(ab)c-a(bc)$

는 각각 교환자 및 결합자이다.

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 모든 합성 대수는 $K$로부터 0번 ~ 3번 ($\mu$를 사용하는) 케일리-딕슨 구성으로부터 주어진다. 표수가 2인 체의 경우, 모든 [[합성 대수는 $K$ 자체 또는 2차원 합성 대수에 마찬가지로 케일리-딕슨 구성을 가하여 얻어진다.

예

실수 $\mathbb {R}$를 스스로 위의 대수로 여겨, 케일리-딕슨 구성을 가하면, 다음과 같다.

대수	이름	성질
$\mathbb {R}$	실수	교환 법칙 · 결합 법칙 · 대합이 항등 함수 · 단위원 존재
$\mathbb {C} =\operatorname {CD} (\mathbb {R} )$	복소수	교환 법칙 · 결합 법칙 · 단위원 존재
$\mathbb {H} =\operatorname {CD} (\mathbb {C} )$	사원수	결합 법칙 · *-조건 · 단위원 존재
$\mathbb {O} =\operatorname {CD} (\mathbb {H} )$	팔원수	교대 대수 · *-조건 · 단위원 존재
$\mathbb {S} =\operatorname {CD} (\mathbb {O} )$	십육원수	*-조건 · 단위원 존재

이 대수들의 경우

$\|a\|^{2}=a^{*}a\in [0,\infty )\subset \mathbb {R} \subset \operatorname {CD} ^{n}(\mathbb {R} )\qquad \forall a\in \operatorname {CD} ^{n}(\mathbb {R} )$

이므로, 곱셈과 호환되는 노름 $\|\cdot \|\colon \operatorname {CD} ^{n}(\mathbb {R} )\to [0,\infty )$을 줄 수 있다.

역사

아서 케일리와 레너드 유진 딕슨 이 도입하였다.

참고 문헌

• Baez, John (2002). “The octonions”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 39 (2): 145–205. arXiv:math/0105155. Bibcode:2001math......5155B. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. MR 1886087.  오류 정정 Baez, John (2005). “Errata for "The octonions"”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 42 (2): 213–213. doi:10.1090/S0273-0979-05-01052-9. 
• Schafer, Richard D. (1966). 《An introduction to non-associative algebras》. Pure and Applied Mathematics (영어) 22. Academic Press. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601. 2015년 4월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 3월 23일에 확인함. 

외부 링크

• “Cayley-Dickson construction”. 《nLab》 (영어).