요르단 대수

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수학에서, 요르단 대수(영어: Jordan algebra)는 교환법칙을 따르지만 결합법칙을 따르지 않을 수 있는 대수의 일종이다.

정의[편집]

k라고 하다. k에 대한 요르단 대수 A는 다음 공리들을 만족시키는 k에 대한 대수다. 임의의 x,y\in A에 대하여,

일반적으로, 요르단 대수는 결합법칙을 따르지 않는다. 다만, 요르단 항등식에 따라 다음을 보일 수 있다.

(x^my)x^n=x^m(yx^n)

형식적 실수 요르단 대수(영어: formally real Jordan algebra)는 다음 조건을 만족시키는 요르단 대수 A다.

임의의 x_1,\dots, x_n\in A\setminus\{0\}에 대하여, x_1^2+x_2^2+\dotsb+x_n^2\ne0이다.

분류[편집]

실수에 대한 유한 차원 형식적 실수 요르단 대수는 모두 분류되었다.[1] 이러한 요르단 대수들은 단순 요르단 대수(영어: simple Jordan algebra)의 직합으로 나타낼 수 있다.

단순 요르단 대수들의 목록은 다음과 같다.

  • n\times n 실수 정사각행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 M\circ N=(MN+NM)/2이다.
  • n\times n 복소 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 M\circ N=(MN+NM)/2이다.
  • 2n\times 2n 복소 해밀턴 행렬(=n\times n 사원수 에르미트 행렬)들의 대수. 이 경우 곱셈은 M\circ N=(MN+NM)/2이다.
  • \mathbb R^n으로 생성되고 조건 x^2=\lVert x\rVert^2을 만족시키는, 단위원을 갖춘 자유 요르단 대수. 이는 n+1차원 요르단 대수이며, 스핀 인자(영어: spin factor) 또는 클리퍼드형 대수(영어: Clifford-type algebra)라고 한다. 이는 클리퍼드 대수와의 유사성 때문이다.
  • 3\times 3 팔원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 M\circ N=(MN+NM)/2이다. 이를 예외 요르단 대수(영어: exceptional Jordan algebra) 또는 앨버트 대수(영어: Albert algebra)라고 한다. 이는 미국의 수학자 에이브러햄 에이드리언 앨버트(영어: Abraham Adrian Albert)[2]의 이름을 딴 것이다.
기호 실수 차원 이름 정의
\operatorname H_n(\mathbb R) n(n+1)/2 n\times n 실수 대칭 행렬 대수 M\circ N=(MN+NM)/2
\operatorname H_n(\mathbb C) n^2 n\times n 복소 에르미트 행렬 대수 M\circ N=(MN+NM)/2
\operatorname H_n(\mathbb H) n(2n-1) n\times n 사원수 에르미트 행렬 대수 M\circ N=(MN+NM)/2
\operatorname{JSpin}_n n+1 스핀 인자 \mathbb R\oplus\mathbb R^n (r,\mathbf u)\circ(s,\mathbf v)=(rs+\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle,r\mathbf v+s\mathbf u)
\operatorname H_3(\mathbb O) 또는 \mathbb{A} 27 앨버트 대수 (3×3 팔원수 에르미트 행렬 대수) M\circ N=(MN+NM)/2

역사[편집]

파스쿠알 요르단이 1933년에 도입하였다. 요르단은 원래 양자역학관측가능량의 대수를 다루기 위하여 도입하였다.[3][4][1] X,Y가 에르미트 관측가능량이라면 X\circ Y=(XY+YX)/2 또한 관측가능량이고, 이들은 단순 요르단 대수를 이룬다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Jordan, Pascual, John von Neumann, Eugene Wigner (1934년). On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism. 《Annals of Mathematics (Second Series)》 35 (1): 29–64. doi:10.2307/1968117. JSTOR 1968117. MR1503141. Zbl 0008.42103. ISSN 0003-486X.
  2. (영어) O’Connor, John J.; Edmund F. Robertson (2001년 9월). Abraham Adrian Albert. 《MacTutor History of Mathematics Archive》. 세인트앤드루스 대학교.
  3. (독일어) Jordan, Pascual (1933년). Ueber Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik. 《Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math. Phys. Kl. I》 41: 209–217. Zbl 0007.08502. JFM 59.0796.02.
  4. (독일어) Jordan, Pascual (1933년 5월). Über die Multiplication quantenmechanischer Grössen. 《Zeitschrift für Physik》 80: 285–291. doi:10.1007/BF01333854. Bibcode1933ZPhy...80..285J.

바깥 고리[편집]