크로네커 델타

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크로네커 델타(Kronecker delta)는 선형대수학에서 정수 값을 가지는 두 개의 변수에 대해서 정의된 함수 혹은 텐서이다. 이 텐서의 이름은 수학자 레오폴트 크로네커의 이름에서 따왔다.

정의[편집]

크로네커 델타 δij는 다음과 같이 정의된다.

\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 
1 & \mbox{if } i=j  \\ 
0 & \mbox{if } i \ne j \end{matrix}\right.

다시말하면, 이 함수는 두 개의 변수가 같은 값을 가지면 1이 되고, 그렇지 않으면 0이 된다. 예를 들어, δ12 = 0, δ33 = 1 이다.

특별한 경우에 변수가 하나인 경우에는 흔히 다음과 같이 크로네커 델타 δi를 정의한다.

\delta_{i} = \left\{\begin{matrix} 
1 & \mbox{if } i=0  \\ 
0 & \mbox{if } i \ne 0 \end{matrix}\right.

크로네커 델타의 성질[편집]

크로네커 델타의 가장 중요한 성질은 다음과 같이 임의로 합을 하면, 특정한 지표 i ∈ ℤ (정수)를 골라낼 수 있다는 성질이다.

\sum^\infty _{j=-\infty} \delta_{ij} a_j = a_i

이 성질은 디랙 델타 함수와 매우 비슷한 성질이기 때문에 흔히 크로네커 델타를 이산적인 경우의 델타 함수라고 하기도 한다.

또한 직교좌표계에서의 성분끼리의 미분도 크로네커 델타로 표현된다.

{\partial x_i \over \partial x_j} = \delta_{ij}

선형대수학에서의 크로네커 델타[편집]

크로네커 델타텐서로 생각할 땐 텐서의 축약으로 특정 지표를 골라내는 성질을 간단하게 나타낼 수 있으므로 공변지표(covariant index) i와 반변지표(contravariant index) j를 사용해 δij로 나타낸다.

이 (1,1) 텐서를 이용해 나타낼 수 있는 것들에는 다음과 같은 것들이 있다. (여기 아래에선 아인슈타인 표기법을 사용)

v^i = \delta^i _j v^j
\mathrm{tr} (A) = \delta^i _j A^j _i
\vec{a} \cdot \vec{b} = \delta^i _j a_i b^j

선적분을 통한 표현[편집]

다음의 잉여 계산을 통해

\oint {1 \over z^n} dz= \left\{\begin{matrix} 
2\pi i & n=1 \\ 
0 & \textrm{otherwise} \end{matrix}\right.

크로네커 델타의 적분표현을 얻을 수 있다.

\delta_{mn} = \frac1{2\pi i} \oint z^{m-n-1} dz,

여기서 적분경로는 0 주변을 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다. 또한 이 적분은 복소평면 상에서 한바퀴 돌며 적분하는 것과 같으므로 아래와 같이 나타낼 수도 있다.

  \delta_{mn} = \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{i(m-n)\varphi} d\varphi,

크로네커 델타의 일반화[편집]

좀 더 많은 성분을 가진 텐서에 대해서도 비슷한 성질을 갖는 아래의 텐서를 생각할 수 있다.

\delta^{j_1 j_2 \dots j_n}_{i_1 i_2 \dots i_n} = \prod_{k=1}^n \delta^{i_k} _{j_k}.

이 텐서는 위쪽 지표와 그와 같은 줄에 있는 아래쪽 지표가 모두 같으면 1이 되고, 그 외의 경우엔 0이 된다.

신호처리에서의 크로네커 델타[편집]

디지털 신호 처리 분야에서는, 위와 같은 개념을 ℤ 에서 정의된 함수로 나타낸다.


\delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}

이 함수를 '임펄스', 혹은 '단위 임펄스'라고 부른다. 어떤 신호 처리 장치에 임펄스가 입력으로 주어졌을때, 출력으로 나오는 것을 임펄스 응답이라고 한다.

같이 보기[편집]