디랙 델타 함수

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디랙 델타 함수는 이론물리학자 폴 디랙이 고안해낸 함수로, δ(x)와 같이 표기하며, 크로네커 델타의 연속함수화로도 볼 수 있다. 이 함수는 일반적인 의미에서의 함수는 아니며, 0에서 완전히 축퇴된 분포확률밀도함수같은 것으로 정의할 수 있다. 신호 처리 분야에서는 단위 임펄스 함수라고 부르기도 한다. 이 함수는 다음과 같은 값을 가진다.

\delta(x) = \begin{cases} \infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}
\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx= 1

측도로서의 정의[편집]

디랙 델타 함수는 측도로 생각할 수 있다. 측도함수 \delta를 다음과 같이 정의한다.

임의의 집합 A \subseteq \mathbb{R}에 대해, 0 \in A이면 \delta(A) = 1, 아니면 \delta(A) = 0.

이렇게 정의하면 이 측도는 모든 연속인 컴팩트 받침함수 f에 대해 다음을 만족한다.

\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta\{dx\} = f(0)

하지만, 이 함수는 라돈-니코딤 도함수가 존재하지 않기 때문에, \int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)\, dx = f(0) 를 만족하는 \delta(x)는 존재하지 않는다. 즉, 이 적분 표현은 실제 디랙 델타 함수의 적분을 의미하는 것이 아니며, 위에서 정의한 측도 적분을 기호의 편의상 사용한 것으로 생각할 수 있다.

분포로서의 정의[편집]

디랙 델타 함수는 분포로 정의할 수 있다. 임의의 시험 함수 \varphi에 대해, 디랙 델타 함수 \delta는 다음의 값을 가진다.

\left\langle \delta, \varphi \right\rangle = \varphi(0)

근사 표현[편집]

정규 분포의 극한을 이용한 디랙 델타 함수의 근사 표현
\delta_a(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/a^2} as a \rightarrow 0.

델타 함수는 다음과 같이 다양한 근사 표현을 갖는다.[1]


\begin{align}
\delta(t)
&= \lim_{h \to 0^{+}} \frac1{h} \mathit{\Pi}\left(\frac{t}{h}\right)\\
&= \lim_{h \to 0^{+}} \frac1{h\sqrt{\pi}} \exp\left[-\frac{t^{2}}{h^{2}}\right]\\
&= \lim_{h \to 0^{+}} \frac1{h} \operatorname{sinc}\frac{t}{h}\\
&= \lim_{h \to 0^{+}} \frac1{\pi h}\frac1{1 + (t/h)^{2}}.
\end{align}

여기서 \mathit{\Pi}\operatorname{sinc}는 다음과 같이 정의된다.


\begin{align}
\mathit{\Pi}(t) &= \left\{\begin{array}{ll}
1, & -0.5 \le t \le 0.5,\\
0, & \text{otherwise}.
\end{array}\right.\\
\operatorname{sinc}t &= \frac{\sin \pi t}{\pi t}.
\end{align}

참고로 \exp[-t^{2}]/\sqrt{\pi}1/[\pi(1+t^{2})]은 각각 정규 분포코시 로렌츠 분포확률 밀도 함수를 나타낸다.

성질[편집]

척도구성과 대칭성(Scaling and symmetry)[편집]

디랙 델타 함수는 0이 아닌 상수 \alpha에 대해 다음과 같은 성질을 만족한다.


\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty \delta(\alpha x)\,dx
&=\int_{-\infty}^\infty \delta(u)\,\frac{du}{|\alpha|}
=\frac{1}{|\alpha|},\\
\delta(\alpha x)
&= \frac{\delta(x)}{|\alpha|}
\end{align}

또한, 델타 함수는 \delta(-x) = \delta(x) 관계를 만족하므로 짝분포 이다.

평행 이동(Translation)[편집]

시간에 대해 평행 이동된 델타 함수와 다른 함수의 곱에 대한 적분은 다음과 같은 성질을 갖는다.

\int_{-\infty}^\infty f(t) \delta(t-T)\,dt = f(T).

델타 함수의 성질로 부터 \delta(\tau-t) = \delta(t-\tau)이므로 위의 적분은 f\delta합성곱으로 생각할 수 도 있다. 즉,


(f * \delta)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(t - \tau) d\tau = f(t).

이로써 어떤 함수와 델타 함수의 합성곱은 다시 원래 함수가 됨을 알 수 있다.

충격 응답(Impulse response)[2][편집]

주어진 선형 상미분 방정식자율적(autonomous)일 경우 모든 초기조건을 0으로 두고 입력으로 델타 함수를 인가했을때 얻게 되는 해를 충격 응답이라 한다. 충격 응답선형 상미분 방정식의 해를 구하는데 중요한 역할을 한다. 다음과 같이 선형 연산자


L = \sum_{k = 0}^{n} c_{k}\frac{d^{k}}{dx^{k}},\; (c_{k} \in \mathbb{R})

과 미지 함수 y, 그리고 입력 f로 표현된 자율적 선형 상미분 방정식을 고려하자.


Ly = f,\quad y(0) = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = \cdots = \left.\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}\right|_{x=0} = 0.

이 방정식의 충격 응답h라 하면 미분 방정식의 해는 다음과 같다.


y(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)h(x - \tau) d\tau.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. The Dirac Delta Function, http://www.math.osu.edu/~gerlach.1/math/BVtypset/node28.html
  2. 정보통신기술용어해설, http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=3722