디랙 델타 함수

디랙 델타 함수는 이론물리학자 폴 디랙이 고안해낸 함수로, δ(x)와 같이 표기하며, 크로네커 델타의 연속함수화로도 볼 수 있다. 이 함수는 일반적인 의미에서의 함수는 아니며, 0에서 완전히 축퇴된 분포의 확률밀도함수같은 것으로 정의할 수 있다. 신호 처리 분야에서는 단위 임펄스 함수라고 부르기도 한다. 이 함수는 다음과 같은 값을 가진다.

수학 들머리

$\delta(x) = \begin{cases} \infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}$

$\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx= 1$

측도로서의 정의

디랙 델타 함수는 측도로 생각할 수 있다. 측도함수 $\delta$를 다음과 같이 정의한다.

임의의 집합 $A \subseteq \mathbb{R}$에 대해, $0 \in A$이면 $\delta(A) = 1$, 아니면 $\delta(A) = 0$.

이렇게 정의하면 이 측도는 모든 연속인 컴팩트 받침함수 $f$에 대해 다음을 만족한다.

$\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta\{dx\} = f(0)$

하지만, 이 함수는 라돈-니코딤 도함수가 존재하지 않기 때문에, $\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)\, dx = f(0)$를 만족하는 $\delta(x)$는 존재하지 않는다. 즉, 이 적분 표현은 실제 디랙 델타 함수의 적분을 의미하는 것이 아니며, 위에서 정의한 측도 적분을 기호의 편의상 사용한 것으로 생각할 수 있다.

분포로서의 정의

디랙 델타 함수는 분포로 정의할 수 있다. 임의의 시험 함수 $\varphi$에 대해, 디랙 델타 함수 $\delta$는 다음의 값을 가진다.

$\left\langle \delta, \varphi \right\rangle = \varphi(0)$