순열

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순열(順列, permutation)은 서로 다른 n 개의 원소 중에서 r 개(n \geq r)를 뽑아서 한 줄로 세우는 경우의 수이다.

nPr, 혹은 P(n,r) 라고 쓴다. 이 기호는 순열을 나타내는 permutation의 앞글자를 딴 것이다.

P(n,r)의 수는 다음과 같이 구할 수 있다.

P(n,r) = n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)

이를 계승을 이용하면 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}

예를 들어, 네 개의 문자 A,B,C,D 에서 두 개를 뽑아 나열하는 방법은 P(4,2)=\frac{4!}{(4-2)!}=4\times 3 = 12이므로 12가지가 된다. 일일이 나열하면 다음과 같다.

  1. A B
  2. A C
  3. A D
  4. B A
  5. B C
  6. B D
  7. C A
  8. C B
  9. C D
  10. D A
  11. D B
  12. D C

같은 것이 있는 순열[편집]

n개 중에 같은 것이 각각 p개, q개, …, r개가 있을 때, n개 모두를 일렬로 배열하는 순열의 수로 다음과 같다.

\frac{n!}{p!q!\cdots r!}

중복순열[편집]

중복순열(重複順列) n\Pirn 개의 서로 다른 원소 중에서 중복을 허용하여 r개를 뽑아서 한 줄로 나열하는 경우의 수이다. r 개를 선택하는 경우, 최초에 n 개를 선택할 수 있고 이후에도 계속 n 개를 선택할 수 있기 때문에 이 순열의 개수는 n^r임을 알 수 있다.

예를 들어, 1부터 4까지의 자연수 4개를 이용하여 만들 수 있는 세자리 수는 모두 43 = 64 가지가 있다.

= 원순열(圓順列, circular permutation)은 n개를 원형으로 나열하는 방법의 경우의 수이다. n개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 n!인데, 원은 돌렸을 때 같아지는 것이 생기기 때문에, 여기서 중복되는 것이 n배 있음을 알 수 있다.

따라서 다음과 같이 수를 정의한다.

\frac{n!}{n} = \frac{n(n-1)!}{n} = \frac{(n-1)!}{1}

염주순열[편집]

염주순열(念珠順列)은 n개의 서로 다른 종류의 구슬로 목걸이를 만드는 방법의 수이다. n의 원순열은 \frac{n!}{n}인데, 목걸이는 뒤집어도 같은 것으로 취급하므로, 여기에서 중복되는 것이 2배가 있는 것을 알 수 있다. 따라서 n의 염주순열의 수는 \frac{n!}{2n} = \frac{n(n-1)!}{2n} = \frac{(n-1)!}{2} 이다.

완전순열[편집]

완전순열(complete permutation)은 교란(derangement)이라고도 불리며, 영어 단어 그대로 서브팩토리얼(subfactorial)이라고도 한다. 기호로는 !n과 같은 방법으로 사용한다. 수학의 순열 중, 원래 순열의 모든 요소를 변화시켜서 얻는 순열을 가리킨다.


집합론[편집]

집합론에서는 Permutation을 치환(置換)이라고 부른다.

같이 보기[편집]