교대군

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군론에서, 교대군(交代群, 영어: alternating group)은 유한집합의 원소들에 대한 우순열(짝치환, even permutation)의 집합으로 이루어진 유한군이다. n개의 원소에 대한 교대군의 기호는 A_n이나 \operatorname{Alt}(n)이다.

정의[편집]

순환군 Sn의 각 원소들은 치환의 홀짝성(영어: parity)에 따라 두 부류로 나뉘어진다. 홀짝성 함수는 군 준동형사상

p\colon S_n\to\mathbb Z/2\mathbb Z

을 이룬다. 교대군 A_n은 이 준동형사상의 이다.

A_n\cong\ker p\triangleleft S_n

즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

1\to A_n\hookrightarrow S_n\twoheadrightarrow\mathbb Z/2\mathbb Z\to1

성질[편집]

n>1인 교대군 A_nn!/2개의 원소를 가지며, n<3인 경우 교대군은 자명군이다. n>1인 교대군 A_n은 대칭군 S_n교환자 부분군이다.

교대군이 아벨군필요충분조건n \le 3이다. 단순군일 필요충분조건은 n = 3이거나 n \ge 5이다.

A_4클라인 4원군정규부분군으로 가진다.

낮은 차수의 교대군[편집]

낮은 차수의 교대군은 다른 군들의 족과 동형인데, 다음과 같다.

교대군 다른 이름
A0, A1, A2 1 (자명군)
A3 \mathbb Z/3\mathbb Z (순환군)
A4 PSL(2;\mathbb F_3)
A5 PSL(2;\mathbb F_4)\cong PSL(2;\mathbb F_5)
A6 PSL(2;\mathbb F_9)
A8 PSL(4;\mathbb F_2)

바깥 고리[편집]