순환군

군론에서, 순환군(循環群, 영어: cyclic group)은 하나의 원소에 의해 생성될 수 있는 군이다. 그 의미는 군이 한 원소 $a$를 가지고 있고, 그 군의 모든 원소가 $a$의 거듭제곱의 하나라는 것이다. 마찬가지로, 군 $G$의 한 원소 $a$가 $G$를 생성하는 것은 $a$를 포함하는 $G$의 유일한 부분군(subgroup)이 $G$ 자신일 때이다.

순환군을 생성하는 원소 $a$를 생성원(generator)이라고 부르며, $a^m$이 항등원이 되는 가장 작은 자연수 $m$을 그 순환군의 위수라고 정의한다.

분류

임의의 순환군은 다음의 두가지 종류의 순환군 중 하나와 반드시 동형이다.

• $Z = \{ \cdots, -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots \}$
• $Z/nZ = \{ \bar{0}, \bar{1}, \cdots, \bar{n-1} \}$: 정수들의 집합을 $n$으로 나눈 나머지들의 집합.

$Z$는 원소의 갯수가 무한하다. 위수는 자연수 범위에서 정의되지 않으며 이를 $\infty$로 표기하기도 한다.

$Z/nZ$는 유한군으로, 위수(order)는 $n$으로 원소의 갯수와 동일하다.

$Z/nZ$의 경우, 교과서에 따라서는 $Z/n$ 혹은 $Z_n$라고 표기하기도 한다. 그러나 $Z_n$의 경우, n-adic 수와 혼란을 줄 가능성이 있어서 어떤 수학자들은 이 표기에 대해서 동의하지 않기도 한다.

성질

원소의 개수가 소수인 순환군은 단순군이다.

바깥 고리

• (영어) Eric Wolfgang Weisstein. Cyclic group. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.