대칭군

수학에서, 집합 $X$의 대칭군(對稱群, symmetric group)은 $X$에서 $X$로 가는 모든 전단사함수(일대일 대응함수)의 집합에 군 구조를 준 것으로, 기호로는

또는 

로 표기한다. 이 때, 군 연산은 함수들의 합성이다. 즉, 두 함수 와 를 합성하여 새로운 전단사함수 를 얻을 수 있다. 이 때, 는 $X$의 모든 원소 x에 대해 로 정의한다. 이 연산과 함께 는 군을 이룬다. 이 연산은 간단히 로 쓸 수도 있다.

특별히 중요하게 다루어지는 것은 유한 집합 의 경우이다. 이 집합의 대칭군 를 간단히 $S_n$으로 표기한다. $S_n$의 원소들을 $X$의 치환(置換, permutation)이라 하는데, $S_n$에는 총 $n!$개의 치환이 포함되어있다. $S_n$은 일 때에만 아벨 군이다.

치환의 표현

집합 {1,2,3,4,5} 상의 치환으로서 1을 2로, 2를 5로, 3을 3으로, 4를 1로, 5를 4로 보내는 치환을 다음과 같이 표시한다:

만약 집합 {1,2,3,4,5}에 이 치환을 여러 차례 연달아 적용한다면, 1은 2로 간 뒤 5로 갔다가 4을 거쳐 다시 1로 돌아오며, 이 과정에서 1이 거쳐가는 원소들(1,2,5,4)을 제외한 나머지 원소(3)는 전혀 움직이지 않는 것을 알 수 있다. 이와 같이 한 원소에서 출발해 치환에 의해 움직이는 모든 원소를 전부 거쳐올 수 있는 치환을 순환치환(cycle)이라 한다. 위의 순환치환은 간단히 (1 2 5 4)로 표시할 수 있다. 이 순환치환은 총 4개의 원소를 거치므로 이를 '길이 4의 순환치환'이라 한다.

이제 아래의 두 치환을 생각해 보자:

집합 {1,2,3,4,5}에 h를 적용한 뒤 g를 적용하면, 1은 2로 갔다가 2에 도착하고, 2는 5로 갔다가 4로 도착할 것이다. 이와 같은 식으로 나머지도 계산해서 다음의 결과를 얻는다:

일반적으로 길이 L = mn의 순환치환을 m승 하면 길이 n의 순환치환 m개의 곱이 된다. 예를 들어 m = 2, n = 3일 때,

호환

호환(transposition)은 두 원소를 서로 바꾸고 나머지 원소들은 그대로 놔두는 치환을 말한다. 즉, 호환이란 길이 2의 순환치환이다. 임의의 치환은 호환들의 곱으로 쓸 수 있는데, 예를 들어 (1 3 5 4) = (1 4)(1 5)(1 3)이다. 이 경우와 마찬가지로 홀수개의 호환의 곱으로 표현할 수 있는 치환을 홀치환이라고 하고, 짝수개의 호환의 곱으로 표현할 수 있는 치환을 짝치환이라고 한다. 일반적으로 치환을 호환들의 곱으로 표현하는 방법은 여러 개가 있지만, 홀치환은 언제나 홀수 개, 짝치환은 언제나 짝수 개의 호환의 곱으로 나타난다.