단순군

단순군(simple group)은 자기 자신과 자명군 이외에는 정규부분군(normal subgroup)을 가지지 않는 군을 말한다. 단순군이 아닌 경우, 자명하지 않은 정규부분군이 존재하여 그 군을 정규부분군과 몫군으로 분해하는 것이 가능하다.

유한군은 유한단순군의 조합으로 분해할 수 있으며, Jordan–Hölder 정리에 따르면 그 조합은 순서를 무시하면 유일하다.

예제

예를 들어, 순환군 G = Z/3Z는 단순군이다. 만약 H가 G의 부분군이라면, 그 차수(원소의 수)는 G의 차수인 3의 약수여야 한다. 그러나 3은 소수이므로 H의 차수는 1 또는 3이고, 따라서 H는 G 전체이거나 자명군일 수밖에 없기 때문이다. 그 반면, G' = Z/12Z는 단순군이 아니다. H' = {12Z, 4+12Z, 8+12Z}로 놓으면 이는 차수 3의 정규부분군이 되기 때문이다. (아벨 군의 임의의 부분군은 정규부분군임을 인식할 것.) 마찬가지로, 정수 전체의 덧셈군 Z는 단순군이 아니다. 짝수들의 집합이 자명하지 않은 정규 진부분군이 되기 때문이다.

유한단순군의 분류

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유한단순군의 분류는 수학에서 아주 중요한 문제였고, 1981년에 다니엘 고렌스틴에 의해 해결되었다고 선언되었으나, 증명 과정에서 일부 문제가 발견되어, 이후 2004년에 마이클 아시바커와 스티븐 스미스가 쓴 Quasithin case에 대한 논문이 출간됨으로 해서 완결되었다.

유한단순군은 18가지 종류로 분류되며, 이들 분류에 속하지 않는 산재군, 혹은 간헐단순군(Sporadic group)이 26개 존재한다. 분류는 대략적으로 다음과 같다.

• 소수 차수를 가지는 순환군($Z/pZ$)
• $n \ge 5$인 교대군($A_n$)
• 16가지의 리 형태(Lie type) 군
• 26개의 산재군