군의 작용

수학에서는 대상의 대칭성을 대칭군으로 나타낸다. 이를 형식적으로는 군의 작용(group action)이라는 개념으로 설명하는데, 군의 각 원소가 특정한 집합의 전단사함수(혹은 "대칭성")로서 "작용"하는 것이다.

정의

G 가 군이고 X 가 집합이라 하자. 다음과 같은 함수

$* : G \times X \rightarrow X$

가 있고, 함수의 상 *(g, x) 를 gx 로 쓰자. 이 때, 다음의 두 조건

1. 모든 x ∈ X 와 G 의 항등원 e 에 대해 ex = x
2. 모든 g₁, g₂ ∈ G 와 x ∈ X 에 대해 (g₁g₂)x = g₁(g₂x)

이 성립하면 이 함수를 G 의 X 에 대한 좌작용(left action of G on X)이라 하고, X를 좌 G-집합(left G-set)이라 하며, G 가 X 의 왼쪽에서 작용한다고 말한다.

마찬가지로, G 의 X 에 대한 우작용 또한 정의할 수 있다. 다음과 같은 함수

$*' : X \times G \rightarrow X$

가 있고, 함수의 상 *'(x, g) 를 xg 로 쓰자. 이 때, 다음의 두 조건

1. 모든 x ∈ X 와 G 의 항등원 e 에 대해 xe = x
2. 모든 g₁, g₂ ∈ G 와 x ∈ X 에 대해 x(g₁g₂) = (xg₁)g₂

이 성립하면 이 함수를 G 의 X 에 대한 우작용(right action of G on X)이라 하고, X를 우 G-집합(right G-set)이라 하며, G 가 X 의 오른쪽에서 작용한다고 말한다.

두 작용의 차이점은 단지 G 의 원소의 곱 g₁g₂ 가 X 에 작용하는 순서가 다르다는 점뿐이다. 좌작용에선 g₂ 가 먼저 작용하는 반면에 우작용에선 g₁ 가 먼저 작용하게 된다.

임의의 우작용은 다음과 같은 방법을 통해 좌작용으로 쓸 수 있다. r 을 G 의 X 에 대한 우작용이라 하고 다음과 같은 함수

$\begin{align} l :& \;G \times X \rightarrow X \\ & \;(g, x) \mapsto r(x,g^{-1}) \end{align}$

를 정의하자. 이 때,

$\begin{align} l(e,x) & = r(x,e^{-1})\\ & = r(x,e) \\ & = x \end{align}$

$\begin{align} l(gh,x) & = r(x,h^{-1}g^{-1}) \\ & = r(r(x,h^{-1}),g^{-1})\\ & = r(l(h,x),g^{-1})\\ & = l(g,l(h,x)) \end{align}$

이므로 l 은 G 의 X 에 대한 좌작용이 된다. 마찬가지로 임의의 좌작용 또한 우작용으로 쓸 수 있다. 따라서 앞으로는 둘을 구별하지 않고, 좌작용을 작용이라고 쓰고, 좌 G-집합을 G-집합이라 쓰기로 하자.

위의 정의로부터, g 가 G 의 원소일 때 X 의 원소 x 를 gx 로 보내는 함수는 X 에서 X 로의 전단사함수임을 알 수 있다. 따라서 작용이라는 것을 G 에서 대칭군 S_X로의 군 준동형사상으로 정의해도 된다.

작용의 종류

G 가 X 에 작용할 때,

• X 의 임의의 원소 x, y 에 대해 G 의 원소 g 가 존재해서 g·x = y 가 성립하면 이를 추이작용(transitive action)이라 한다.
  • 여기에 더해, 이와 같은 g 가 유일하다면 이를 정추이작용(sharply transitive action)이라 한다.
• X 의 임의의 서로 다른 원소들 x₁, ..., x_n 과 임의의 서로 다른 원소들 y₁, ..., y_n 에 대해 G 의 원소 g 가 존재해서 각 1 ≤ k ≤ n 에 대해 g·x_k = y_k 이면 이를 n-추이작용이라 한다.
  • 위와 마찬가지로, 이와 같은 g 가 유일하다면 이를 n-정추이작용이라 한다.
• G의 임의의 서로 다른 두 원소 g, h 에 대해 X 의 원소 x 가 존재해서 g·x ≠ h·x 이면 이를 충실한 작용(faithful action) 혹은 효과적 작용(effective action)이라 한다. 이는 G 의 임의의 단위원이 아닌 원소 g 에 대해 X 의 원소 x 가 존재해서 g·x ≠ x 라는 것과 동치인 조건이다.
• G 의 임의의 서로 다른 두 원소 g, h 와 X 의 임의의 원소 x 에 대해 g·x ≠ h·x 이면 이를 자유작용(free action) 혹은 반정칙작용(semiregular action)이라 한다. 이는 G 의 임의의 단위원이 아닌 원소 g 와 X 의 임의의 원소 x 에 대해 g·x ≠ x 라는 것과 동치인 조건이다.
• 이 작용이 추이작용이며 동시에 자유작용이면 이를 정칙작용(regular action)이라 한다. 이는 위에서 정의한 정추이작용 조건과 동치이다.

궤도와 안정자군

군 G가 집합 X에 (왼쪽에서) 작용 한다고 가정하면, x $\in$ X 의 궤도(軌道, 영어: orbit) Gx는 다음과 같이 정의된다.

$Gx = \left\{ g\cdot x \mid g \in G \right\}.$

적당한 g $\in$ G 에 대해 g·x = y 로 정의되는 관계 x ~ y 가 동치관계이므로, x의 궤도 Gx는 동치류가 되고 X는 이런 동치류들로 분할됨을 쉽게 보일 수 있다.

X의 원소 x에 대해, 안정자군(安定子群, 영어: stabilizer subgroup) $G_x$는 다음과 같이 정의된다.

$G_x = \{g \in G \mid g\cdot x = x\}.$

즉, 안정자군 $G_x$는 G의 원소 중 x를 고정시키는 모든 원소들의 집합이다.

$G_x$이 G의 부분군이기 때문에 좌잉여류를 생각할 수 있는데, $Gx$의 원소 g·x를 좌잉여류 g$G_x$로 보내는 사상은 잘 정의되고 전단사 함수이다.

따라서 G가 유한군이면, 라그랑주의 정리에 의해,

$|Gx| = [G\,:\,G_x] = |G| / |G_x|.$

이것을 궤도-안정자군 정리(영어: orbit–stabilizer theorem)라고 부른다.