수학

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수학 들머리

수학(數學)은 양, 구조, 공간, 변화 등의 개념을 다루는 자연과학의 학문이다. 현대 수학은 형식 논리를 이용해 공리로 구성된 추상적 구조를 연구하는 학문으로 여겨지기도 한다. 수학은 그 구조와 발전 과정에서 자연과학에 속하는 물리학을 비롯한 학문들과 깊은 연관을 맺고 있으나, 여느 과학의 분야들과는 달리 자연계에서 관측되지 않는 개념들에 대해서까지 이론을 일반화 및 추상화시킬 수 있다는 차이가 있다. 수학자들은 그러한 개념들에 대해 추측을 하고, 적절하게 선택된 정의와 공리로부터의 엄밀한 연역을 통해 추측들의 진위를 파악하려 한다.^[1]

수학은 숫자 세기, 계산, 측정 및 물리적 대상의 모양과 움직임을 추상화하고 이에 논리적 추론을 적용하여 나타났다. 이런 기본 개념들은 고대 이집트, 메소포타미아, 고대 인도, 고대 중국 및 고대 그리스의 수학책에서 찾아볼 수 있으며, 유클리드의 원론에서는 엄밀한 논증이 발견된다. 이런 발전은 그 뒤로 계속되어, 16세기의 르네상스에 이르러서는 수학적 발전과 과학적 발견들의 상호작용이 일어나 혁명적인 연구들이 진행되며 인류 문명에 큰 영향을 미치게 되었고, 이는 현재까지도 계속되고 있다.^[2]

오늘날 수학은 자연과학, 공학, 의학뿐만 아니라 경제학 등의 사회과학에서도 중요한 도구로서 사용된다. 수학을 이런 분야들에 적용한 응용수학은 그 결과로서 수학 자체의 발전을 이끌고 새로운 분야들을 낳았다. 응용이 아닌 수학 자체의 아름다움과 재미를 추구하며 연구하는 것을 순수수학이라 하는데, 긴 시간이 지난 뒤에 순수수학적 연구를 다른 분야에 응용할 방법이 발견된 경우도 많다.^[3]

[편집] 역사

이 부분의 본문은 수학의 역사입니다.

인류의 역사와 더불어 시작되었다고 할 만큼 오래 되었다. 교역 ·분배 ·과세 등 인류의 사회 생활에 필요한 모든 계산을 수학이 담당해 왔고, 농경생활에 필수적인 천문 관측과 달력의 제정, 토지의 측량 또한 수학이 직접적으로 관여한 분야이다. 고대 수학을 크게 발전시킨 나라로는 이집트, 인도, 그리스, 중국 등이 있다. 그 중 그리스에서는 처음으로 수학의 방정식에서 변수를 문자로 쓴 나라이다.

한국 수학의 역사는 약 1500년 전에 시작했다. 신라시대에 수학을 가르쳤으며 일식과 월식을 예언하기로 발달했다. 조선시대에 세종대왕은 수학 수준을 향상시키고 집현전 교리들에게 학문 책들을 발전하라고 명령했다. 임진왜란으로 많은 교과서들이 불타고 이 분야에서 큰 손실을 입었다. 그러나 이후 한국 수학자들이 잃어버린 지식을 다시 발견했고 새로운 결과도 성취했다.

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[편집] 세부 분야

주판은 고대로부터 계산 도구로 사용되어왔다.

수학의 각 분야들은 상업에 필요한 계산을 하기 위해, 숫자들의 관계를 이해하기 위해, 토지를 측량하기 위해, 그리고 천문학적 사건들을 예견하기 위해 발전되어왔다. 이 네 가지 목적은 대략적으로 수학이 다루는 대상인 양, 구조, 공간 및 변화에 대응되며, 이들을 다루는 수학의 분야를 각각 산술, 대수학, 기하학, 해석학이라 한다. 또한 이 밖에도 근대 이후에 나타난 수학기초론과 이산수학 및 응용수학 등이 있다.

[편집] 산술

산술은 자연수와 정수 및 이에 대한 사칙연산에 대한 연구로서 시작했다. 수론은 이런 주제들을 보다 깊게 다루는 학문으로, 그 결과로는 페르마의 마지막 정리 등이 유명하다. 또한 쌍둥이 소수 추측과 골드바흐 추측 등을 비롯해 오랜 세월 동안 해결되지 않고 남아있는 문제들도 여럿 있다.

수의 체계가 보다 발전하면서, 정수의 집합을 유리수의 집합의 부분집합으로 여기게 되었다. 또한 유리수의 집합은 실수의 집합의 부분집합이며, 이는 또다시 복소수 집합의 일부분으로 볼 수 있다. 여기에서 더 나아가면 사원수와 팔원수 등의 개념을 생각할 수도 있다. 이와는 약간 다른 방향으로, 자연수를 무한대까지 세어나간다는 개념을 형식화하여 서수의 개념을 얻으며, 집합의 크기 비교를 이용하여 무한대를 다루기 위한 또다른 방법으로는 기수의 개념도 있다.

$1, 2, \ldots$	$0, 1, -1, \ldots$	$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0.125,\ldots$	$\pi, e, \sqrt{2},\ldots$	$i, 3i+2, e^{i\pi/3},\ldots$
자연수	정수	유리수	실수	복소수

[편집] 대수학


추상대수학	수론	군론	순서론

[편집] 기하학


위상수학	삼각법	미분기하학	프랙탈 기하학

[편집] 해석학


미적분학	벡터 미적분학	미분방정식	동역학계	혼돈 이론

[편집] 수학기초론 관련 분야

		$p \Rightarrow q \,$
집합론	범주론	수리논리학

[편집] 이산수학

$\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}$
조합론	계산 이론	암호학	그래프 이론

[편집] 응용수학


수리물리학	유체역학	수치해석학	최적화 이론
확률론	통계학	금융수학	게임 이론

[편집] 주석

↑ Jourdain
↑ Eves
↑ Peterson

[편집] 참고 자료

Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Sixth Edition, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.
Jourdain, Philip E. B., The Nature of Mathematics, in The World of Mathematics, James R. Newman, editor, Dover, 2003, ISBN 0-486-43268-8.
Peterson, Ivars, Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics, Owl Books, 2001, ISBN 0-8050-7159-8.

[편집] 바깥 고리

[0] Jourdain

[1] Eves

[2] Peterson

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[2]

[3]

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