복소해석학

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복소해석학(複素解析學, 영어: complex analysis)은 복소변수 함수(복소함수)를 연구하는 수학의 한 분야이다. 복소해석학은 수론, 응용수학을 포함한 수학의 여러 분야와 물리학에서도 유용하게 이용된다.

복소해석학의 주된 내용은 복소 해석함수, 좀 더 일반적으로 유리형 함수와 관련된 이론이다. 복소 해석함수는 실수부와 허수부로 나눌 수 있고, 실수부와 허수부를 나타내는 함수는 각각 라플라스 방정식을 만족하기 때문에, 복소해석학은 물리학의 2차원 문제에 광범위하게 응용되고 있다.

역사[편집]

복소해석학은 19세기 무렵에 여러 수학자들에 의해 연구되기 시작한 분야로, 수학의 고전적인 분야 가운데 하나이다. 초창기에는 오일러, 가우스, 리만, 코시, 바이어슈트라스 등이 중요한 업적을 남겼고, 20세기에 들어서는 더 많은 수학자들이 복소해석학의 연구에 동참했다. 전통적으로 복소해석학의 주제들, 그 중에서도 특히 등각사상물리학의 여러 분야에 응용되었으며, 이는 해석적 수론의 연구 전반에서도 중요한 역할을 한다. 현대에 복소해석학이 응용되는 분야는 20세기 말부터 두각을 나타내고 있는 복소 동역학이나, 해석함수를 반복적으로 적용하여 얻을 수 있는 만델브로트 집합과 같은 프랙탈 구조를 다루는 프랙탈 기하학 등이 유명하다. 이들 분야에 대한 발달과 함께 복소해석학은 더욱 많은 사람들이 관심을 갖는 분야가 되었다. 최근의 중요한 복소함수론의 응용은 물리학의 끈 이론에서 찾을 수 있다.

복소함수[편집]

일반적으로 복소함수독립변수종속변수가 모두 복소수인 함수를 말한다. 다시 말해 복소함수는 정의역치역이 복소평면의 부분집합인 함수이다.

복소함수의 독립변수와 종속변수는 모두 실수부와 허수부로 나눌 수 있다.

z = x + iy\,
w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\,
여기서 x,y \in \mathbb{R}\, 이고 u(x,y), v(x,y)\,실함수이다.

즉, 복소함수 f(z)는 실수부를 나타내는 함수

u = u(x,y)\,

와 허수부를 나타내는 함수

v = v(x,y),\,

로 나눌 수 있으며 이들 두 함수는 모두 xy을 독립변수로 깆는 이변수 함수이다.

기본적인 복소함수는 실함수의 정의역을 복소평면으로 확장하여 정의하는 것이 일반적이다. 예를 들어 복소함수로서의 지수함수 f\,(z)=e^z\,는 복소변수 z가 실수일 때, 실함수로서의 지수함수 f\,(x)=e^x\,와 같은 값을 가질 뿐만 아니라, 실함수로서의 지수함수가 갖는 중요한 성질인

f\,(x+y)=e^{x+y}=e^x\,e^y=f\,(x)\,f\,(y)

를 복소평면에서 만족하도록 정의되었다.


도함수와 코시-리만 방정식[편집]

도함수[편집]

실함수에서와 마찬가지로 복소함수 f(z)\, 의 정의역 안의 점 z \, 에서의 미분은 극한

f^\prime(z) = \frac{dw}{dz} = \lim_{h \to 0}\frac{f(z+h) - f(z)}{h}\,\cdots\cdots (1)

으로 정의한다. 만약 극한이 존재하지 않는다면 f(z)\, 는 점 z_0 \, 에서 미분 불가능하다. 여기서 극한에 관해 주의해야 할 것은, 일변수 함수의 극한에서 h\, 는 수직선을 따라 0에 접근하는 경우만을 생각할 수 있었지만, 복소평면에서는 무수히 많은 경로를 생각할 수 있고 어떤 경우든 그 극한값이 모두 일치해야 극한이 존재한다는 점이다.

복소함수 f: D \rightarrow \mathbb{C}\, 의 영역 D \, 안의 모든 점에서 위 (1)의 극한이 존재하면 f \, D \, 에서 미분가능하다고 하고 식(1)로 정의된 함수  f': D \rightarrow \mathbb{C}\, f \, 도함수라고 한다.

복소함수가 도함수를 갖는 것은 실함수가 도함수를 갖는 것보다 훨씬 더 수학적으로 중요한 결과이다. 실함수의 경우 정의역의 모든 점에서 1계 도함수가 존재하지만 2계 도함수가 존재하지 않는 경우를 찾을 수 있으나, 복소함수의 경우 열린집합에서 정의된 함수가 도함수를 가지면 그 함수는 무한번 미분 가능한 함수가 된다.

코시-리만 방정식[편집]

해석적인 복소함수 f(z)\, z에서 극한 (1)이 존재한다. 그러므로 극한 (1)에서 h가 특별히 실수축과 허수축에 나란하게 움직이는 경우의 극한도 존재하고 또 같은 극한값을 가져야 한다. 따라서 함수 f(z)\, 의 실수부와 허수부를 각각 u(x, y),\,\,v(x,y)\, 라고 하면


f^\prime(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}.\,

이다. 위 두 식의 실수부와 실수부, 허수부와 허수부는 같아야 하므로 다음이 성립한다.


\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\,
또는, u_x=v_y \qquad u_y=-v_x.\,

이 두 방정식을 코시-리만 방정식이라고 한다.

중요한 결과들[편집]

  • 복소해석학에서 가장 중요한 해석 도구 중의 하나로 선적분을 들 수 있다.
    • 코시의 적분정리 : 닫힌 곡선의 안쪽에서 해석적인 복소함수를 그 닫힌곡선을 따라 적분한 값은 항상 0이다.
    • 코시의 적분공식 : 원판 안에서 정칙함수의 값은 그 원판의 경계선(원)을 따라 그 함수와 관련된 특정한 형태의 함수를 적분하여 구할 수 있다.
    • 유수 정리 : 닫힌곡선의 안쪽에서 (극점)이나 진성특이점을 갖는 복소함수의 닫힌곡선 위에서의 선적분의 계산은 유수 정리를 이용할 수 있다. 유수 정리를 이용하면 실수체 위에서 사실상 불가능할 정도로 복잡한 실함수의 적분 계산을 복소평면에서의 선적분을 이용하여 계산할 수 있다.
  • 복소해석학의 주요 주제는 복소함수-해석함수, 유리형 함수-에 관한 것이다.
    • 테일러 급수 : 해석적인 복소함수는 테일러 급수로 나타낼 수 있다.
    • 로랑 급수 : 특이점을 제외한 특이점 근방에서 복소함수는 로랑의 급수로 나타낼 수 있으며 이를 이용하여 특이점 근방에서의 복소함수의 특성을 알아볼 수 있다.
    • 피카르의 대정리 : 진성특이점 근방에서 해석함수의 특성을 설명하는 정리이다.
    • 리우빌의 정리 : 전체 복소평면에서 유계인 해석함수 즉, 유계인 전해석함수는 상수함수이다. 리우빌의 정리를 이용하면 대수학의 기본정리를 짧게 증명할 수 있다. 대수학의 기본정리는 ‘복소수체는 대수적으로 닫혀있다’는 내용이다.
    • 해석적 연속 : 만약 한 함수가 단일연결 영역  \Omega에서 해석적이라면 그 함수값은  \Omega의 부분 영역에서의 함수값에 의해 완전히 결정된다. 이를 이용하면 해석함수의 정의역을 확장할 수 있다. 예를 들어 최초에는 복소평면의 제한된 부분에서만 수렴하는 무한급수로 정의되었던 리만 제타 함수도 해석적 확장을 통해 그 정의역을 확장할 수 있다.
  • 위의 모든 내용들은 일변수 복소해석학에 관련된 것들이다. 그러나 2변수 이상의 복소해석학에서도 역시 풍부한 이론들을 찾을 수 있다.
    • 2변수 이상의 복소해석학에서도 멱급수 전개와 같은 해석적인 성질들이 성립하지만, 등각성(conformality)과 같은 일변수 해석함수가 갖는 기하학적 성질은 더 이상 성립하지 않는다.
    • 리만 사상 정리 : 단순연결영역에서 등각 관계(conformal relation)에 관한 함수의 존재성에 관한 정리인 리만 사상 정리는 일변수 복소해석학에서 매우 중요한 의미를 갖는 이론이지만 2변수 이상의 복소함수에서는 성립하지 않는다.

참고 문헌[편집]