일반위상수학

위상수학의 한 분과로서 일반위상수학(General topology) 또는 점-집합 위상수학(Point-set topology)은 위상공간을 일반적으로 그것을 정의하는 집합론적 공리만으로 다루는 분야이다. 그러므로 일반위상수학에서 얻은 결과는 다른 모든 위상공간을 다루는 분야에서 사용할 수 있다. 통상 학부의 위상수학 과목에서는 일반위상수학을 중심으로 다룬다.

발생

일반위상수학은 주로 다음과 같은 분과의 문제를 다루면서 정립되었다.

• 실수 집합의 부분집합에 대한 연구
• 다양체 개념에 대한 연구
• 거리공간에 대한 연구, 특히 그 중에서도 현대에는 함수해석학에서 다루는 노름선형공간에 대한 연구.

일반위상수학은 1940년 무렵 오늘날과 비슷한 체계를 갖추었다. 이 무렵 수학의 다른 모든 분과에 응용될 수 있는 연속 등의 개념이 일반적으로 확립되었다.

대상

구체적으로 일반위상수학에서는 다음과 같은 대상을 일반적으로 정의하고 그에 관한 정리(예컨대, 티호노프의 정리나 우리손의 보조정리)들을 다룬다.

• 열린 집합, 닫힌 집합
• 내부, 닫힘, 근방
• 컴팩트 공간, 연결공간
• 연속함수
• 수열의 극한, 그물, 필터
• 분리공리, 가산공리, 거리공간

보다 특수한 개념들에 집중하는 위상수학의 다른 분과로는 대수적 위상수학(호모토피와 호몰로지 등), 기하적 위상수학(다양체의 여러 기하학적/위상수학적 성질), 미분위상수학(미분다양체) 등이 있는데, 일반위상수학은 이들 분과 모두에서 사용할 수 있는 개념적 기초를 제공한다.

일반위상수학의 중요한 변형 중 하나로 점 없는 위상수학이 있는데, 이는 위상공간을 다룸에 있어 점의 집합으로 생각하는 것을 피하고, 격자의 연구와 틀과 로칼의 범주론적 연구를 통해 위상적 개념을 다루는 접근법을 취한다.

참고 문헌

• Bourbaki; Topologie Générale (General Topology); ISBN 0-387-19374-X
• John L. Kelley; General Topology; ISBN 0-387-90125-6
• James Munkres; Topology; ISBN 0-13-181629-2
• Paul L. Shick; Topology: Point-Set and Geometric; ISBN 0-470-09605-5
• Ryszard Engelking; General Topology; ISBN 3-88538-006-4
• [1978] (1995) 《Counterexamples in Topology》, Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag. MR507446. ISBN 978-0-486-68735-3
• O.Ya. Viro, O.A. Ivanov, V.M. Kharlamov and N.Yu. Netsvetaev; Elementary Topology: Textbook in Problems; ISBN 978-0-8218-4506-6